Základy matematické analýzy

V této kapitole se budeme podrobně věnovat exponenciální funkci, která představuje jednu z nejdůležitějších matematických funkcí. Dále zavedeme Eulerovo číslo ( Leonhard Euler, švýcarský matematik, 1707 – 1783). Jak uvidíme, oba tyto matematické objekty stojí na pojmu číselné řady, který jsme zavedli v předcházející sekci. Pro každé reálné \(x\) uvažme číselnou řadu²³

\begin{equation}\label{eq_rada_exp}\tag{4.4} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots.\end{equation}

Pomocí d'Alembertova kritéria se snadno přesvědčíme o absolutní konvergenci této řady. Pro \(x=0\) řada (4.4) očividně absolutně konverguje. Pro \(x\neq 0\) pro limitu podílů platí \begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \frac{\left|\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\right|}{\left|\frac{x^k}{k!}\right|} = |x| \lim_{k\to\infty} \frac{1}{k+1} = 0 < 1.\end{equation*} Podle d'Alembertova kritéria proto řada \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{|x|^k}{k!}\) konverguje a tudíž řada (4.4) konverguje absolutně pro libovolné \(x\in\mathbb{R}\). Výraz (4.4) má tedy pro každé \(x\in\mathbb{R}\) jednoznačný smysl jakožto reálné číslo.

Po těchto počátečních úvahách můžeme přejít k formální definici exponenciální funkce.

Definice 4.22

Zobrazení, které každému \(x\in\mathbb{R}\) přiřazuje součet konvergentní řady (4.4), nazýváme exponenciální funkcí. Její funkční hodnotu v bodě \(x\) značíme symbolem \(e^x\). Platí tedy

\begin{equation}\label{eq_def_exp}\tag{4.5} e^x \ceq \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}, \quad x\in\mathbb{R}.\end{equation}

Nyní se budeme zabývat vlastnostmi funkce definované vztahem (4.5). Ukážeme, že takováto funkce splňuje všechny vztahy, které bychom od exponenciální funkce očekávali.

Věta 4.23 (Základní vlastnosti exponenciální funkce)

Exponenciální funkce oplývá následujícími vlastnostmi:

\(e^0 = 1\),
pro všechna \(x,y\in\mathbb{R}\) platí \(e^{x+y} = e^x e^y\),
pro všechna \(x\in\mathbb{R}\) platí \(e^x > 0\) a dále \(e^{-x} = \frac{1}{e^x}\),
exponenciála je ostře rostoucí funkce, pro všechna \(x,y \in \mathbb{R}\) splňující nerovnost \(x < y\) platí nerovnost \(e^x < e^y\).

Důkaz :

a. Plyne přímo z dosazení²⁴ \(x=0\) do definičního vztahu (4.5), \begin{equation*} e^0 = \sum_{k=0}^\infty \frac{0^k}{k!} = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1.\end{equation*} b. Uvažme \(x,y\in\mathbb{R}\). Potom²⁵ \begin{align*} e^x \cdot e^y &= \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \right) \cdot \left( \sum_{\ell = 0}^\infty \frac{y^\ell}{\ell!} \right) = \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=0}^k \frac{x^\ell}{\ell!} \frac{y^{k-\ell}}{(k-\ell)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \sum_{\ell = 0}^k \binom{k}{\ell} x^\ell y^{k-\ell} = \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(x+y)^k}{k!} = e^{x+y}.\end{align*} c. Z předchozích, již dokázaných, bodů a. a b. plyne rovnost

\begin{equation}\label{eq_exp_x_min_x}\tag{4.6} e^x e^{-x} = e^{x-x} = e^0 = 1\end{equation}

platná pro libovolné \(x\in\mathbb{R}\). Tato rovnost implikuje nenulovost \(e^x\) pro libovolné \(x\in\mathbb{R}\) (můžeme argumentovat sporem: kdyby \(e^x = 0\) pro jisté \(x\in\mathbb{R}\), pak z odvozené rovnosti dostáváme \(0=1\), což je spor). Z rovnosti (4.6) pak ihned dostáváme \(e^{-x} = \frac{1}{e^x}\). Buď dále \(x \geq 0\). Potom přímo z definice exponenciály dostáváme \begin{equation*} e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \geq 1.\end{equation*} Předpoklad \(x \geq 0\) je zde podstatný, díky němu víme, že posloupnost částečných součtů konvergentní řady \(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\) je ostře rostoucí a její součet proto můžeme ostře zdola odhadnout prvním členem posloupnosti částečných součtů, což je číslo \(1\). Máme-li nyní \(x < 0\), pak z předchozího odstavce a (4.6) plyne \begin{equation*} e^x = \frac{1}{e^{-x}} > 0.\end{equation*} Celkem proto nerovnost \(e^x > 0\) platí pro každé \(x \in \mathbb R\). d. Uvažujme \(z > 0\). Nerovnost \(e^z > 1\) odvozená v důkazu předchozího bodu dále implikuje, že pro záporné \(z\) platí \begin{equation*} e^z = \frac{1}{e^{-z}} < 1.\end{equation*} Je-li nyní \(x < y\), pak \(e^y = e^{y-x} e^x > 1 \cdot e^x = e^x\), protože \(y-x > 0\).

\(\square\)

Pomocí exponenciální funkce můžeme přirozeně definovat Eulerovo číslo jakožto funkční hodnotu exponenciální funkce v bodě \(1\).

Definice 4.24 (Eulerovo číslo)

Eulerovo číslo definujeme pomocí exponenciální funkce předpisem

\begin{equation}\label{eq_def_e}\tag{4.7} e \ceq e^1 = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}.\end{equation}

Poznámka 4.25

V této poznámce provedeme první hrubý odhad hodnoty Eulerova čísla. Označme \((s_n)_{n=1}^\infty\) posloupnost částečných součtů řady (4.7), tedy \begin{equation*} s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}, \quad n\in\mathbb{N}.\end{equation*} Tato posloupnost je očividně rostoucí a omezená. Skutečně, \begin{align*} s_n &= 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4} + \cdots + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4 \cdots n} \leq \\ &\leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} = 1 + \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{1 - \frac{1}{2}} < 3.\end{align*} Součet řady (4.7), tedy Eulerovo číslo, leží mezi čísly \(2.5\) (součet prvních tří členů řady) a \(3\) (horní odhad provedený výše).