Určete počet reálných kořenů polynomu \(f(x) = x^5 - 5x + 2\) a separujte je. Řešíme tedy rovnici \begin{equation*} f(x) = x^5 - 5x + 2 = 0.\end{equation*} Definičním oborem funkce \(f\) je celé \(\mathbb{R}\), funkce \(f\) je spojitá na \(\mathbb{R}\). Limity v krajních bodech jsou \begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{x\to-\infty} f(x) &= \lim_{x\to-\infty} x^5 \left( 1 - \frac{5}{x^4} + \frac{2}{x^5} \right) = \\ &= \lim_{x\to-\infty} x^5 \, \cdot \, \lim_{x\to-\infty} \left( 1 - \frac{5}{x^4} + \frac{2}{x^5} \right) = -\infty \cdot 1 = -\infty. \\ \lim_{x\to+\infty} f(x) &= \, \text{(analogicky)} \, = + \infty. \end{aligned}\end{equation*} První derivací funkce \(f\) je \begin{equation*} f'(x) = 5x^4 - 5 = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 +1)(x^2 -1) = 5(x^2 + 1)(x-1)(x+1).\end{equation*} Shrnujeme, že

• pro \(x\in(-\infty,-1)\) je \(f'(x) > 0\), tudíž na tomto intervalu \(f\) ostře roste,
• pro \(x\in ( -1, 1 )\) je \(f'(x) < 0\) a \(f\) je spojitá na \(\langle -1, 1 \rangle\), tudíž je na intervalu \(\langle -1, 1 \rangle\) funkce \(f\) ostře klesající,
• pro \(x\in(1,+\infty)\) je \(f'(x) > 0\), tudíž \(f\) na tomto intervalu ostře roste.

Proto

• v bodě \(-1\) je lokální maximum s hodnotou \(f(-1) = 6\),
• v bodě \(1\) je lokální minimum s hodnotou \(f(1) = -2\).

Jelikož \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \pm\infty\) uzavíráme, že v každém z intervalů \begin{equation*} (-\infty, -1\rangle, \quad \langle -1,1 \rangle, \quad \langle 1,+\infty)\end{equation*} leží právě jeden kořen. Rovnice má právě \(3\) kořeny. Protože navíc \(f(-2) < 0\) a \(f(2) > 0\), lze pro metodu půlení intervalu použít intervaly \begin{equation*} \langle -2,-1 \rangle, \quad \langle -1,1 \rangle, \quad \langle 1,2 \rangle.\end{equation*}