6.2 Derivace funkce
V souladu s tím, co bylo uvedeno na začátku této kapitoly nyní definujeme:
Definice 6.1
Nechť \(f\) je funkce definovaná na okolí bodu \(a\in\mathbb{R}\). Pokud existuje limita
Derivaci funkce \(f\) se můžeme pokoušet počítat ve všech bodech \(D_f\). Získáváme tak novou funkci, derivaci funkce31:
Definice 6.2
Buď \(f\) funkce s definičním oborem \(D_f\). Nechť \(M\) označuje množinu všech \(a\in D_f\) takových, že existuje konečná derivace \(f'(a)\). Derivací funkce \(f\) nazýváme funkci s definičním oborem \(M\), která každému \(x\in M\) přiřadí \(f'(x)\). Tuto funkci značíme symbolem \(f'\).
Poznámka 6.3
Derivace funkce \(f\) v bodě \(a\) se z různých historických důvodů značí i následujícími ekvivalentními způsoby \begin{equation*} f'(a), \quad \dot{f}(a), \quad \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a).\end{equation*} V tomto textu se budeme důrazně držet značení derivace pomocí čárky v horním indexu.
Všimněte si, že limitu v definici derivace (6.1) lze ekvivalentně přepsat do tvaru \begin{equation*} \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.\end{equation*} Tento tvar je často výhodný pro výpočty. Bod \(a\) se vyskytuje pouze v předpisu funkce jejíž limitu počítáme.
Díky derivaci nyní můžeme zkonstruovat tečnu udáním její rovnice. Rozlišujeme dva kvalitativně rozdílné případy.
Definice 6.4
Nechť existuje \(f'(a)\). Tečnou funkce \(f\) v bodě \(a\) nazýváme
- přímku s rovnicí \(x=a\) je-li funkce \(f\) spojitá v bodě \(a\) a \(f'(a) = +\infty\) nebo \(f'(a) = -\infty\).
- přímku s rovnicí \(y = f(a) + f'(a) (x-a)\) je-li \(f'(a) \in\mathbb{R}\) (tj. je-li \(f\) je diferencovatelná v bodě \(a\)).
V prvním případě svírá tečna grafu funkce \(f\) v bodě \(a\) úhel \(\frac{\pi}{2}\) s osou \(x\), v druhém případě svírá s osou \(x\) úhel \(\alpha\) splňující \(\tg \alpha = f'(a)\).
Obrázek 6.3: Dva typy tečny grafu funkce.
Na obrázku 6.3 je modře znázorněn graf funkce \(f(x) = \sqrt[3]{x-1} + 1\), \(D_f = \mathbb{R}\). Pro její derivaci v bodě \(2\) platí \begin{equation*} f'(2) = \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + h} - 1}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{1 + h - 1}{h \cdot \big( (1+h)^{\frac{2}{3}} + (1+h)^{\frac{1}{3}} + 1 \big)} = \frac{1}{3}.\end{equation*} Tečnou grafu funkce \(f\) v bodě \(2\) je přímka \begin{equation*} y = f(2) + f'(2) (x - 2) = 2 + \frac{1}{3} (x-2),\end{equation*} na obrázku 6.3 vynesena zeleně. Pro derivaci v bodě \(1\) platí \begin{equation*} f'(1) = \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[3]{h} - 0}{h} = \lim_{h\to 0} h^{-\frac{2}{3}} = +\infty.\end{equation*} Protože funkce \(f\) je v bodě \(1\) spojitá, je tečnou v bodě \(1\) (červená) přímka \(x = 1\).
Nyní vypočtěme derivace některých funkcí přímo pomocí její definice. Uvažme nejprve funkci ze všech funkcí nejjednodušší.
Příklad 6.5
Derivace konstantní funkce je rovna \(0\) v každém bodě. Je-li \(f(x) = c \in\mathbb{R}\) pro každé \(x\in\mathbb{R}\), pak \begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x\to a} \frac{c - c }{x - a} = \lim_{x\to a} 0 = 0\end{equation*} pro každé \(a\in\mathbb{R}\).
Tento výsledek by nás neměl nijak překvapovat. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou \(x\). Tečna tohoto grafu v libovolném bodě je pak opět tato přímka, jež je rovnoběžná s osou \(x\) a svírá proto s osou \(x\) úhel \(0\), \(\tg 0 = 0\).
Přistupme nyní k odvození vztahů pro derivace dalších elementárních funkcí.
Příklad 6.6
Derivace funkce \(e^x\) je opět funkce \(e^x\). Tedy \(\big( e^x \big)' = e^x\). V minulé kapitole jsme odvodili vztah (lemma č. 5.53) \begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.\end{equation*} Pro libovolné \(a\in\mathbb{R}\) podle věty o limitě složené funkce a o limitě součinu funkcí platí \begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{e^x - e^a}{x - a} = \lim_{x\to a} e^a \cdot \frac{e^{x-a} - 1}{x-a} = e^a \cdot 1 = e^a.\end{equation*} Pro derivaci funkce \(f(x) = e^x\) v bodě \(a\in\mathbb{R}\) tedy skutečně platí platí \(f'(a) = f(a)\).
Příklad 6.7
Derivace funkce \(\ln x\) je funkce \(\frac{1}{x}\), kde \(x>0\). Tedy pro \(x > 0\) máme rovnost \(\ln' x = \frac{1}{x}\). V minulé kapitole jsme odvodili vztah (lemma č. 5.54) \begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\end{equation*} Podobně jako v předchozím příkladu nyní pro kladné \(a\) platí \begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{\ln(x) - \ln(a)}{x-a} = \lim_{x\to a} \frac{\ln\frac{x}{a}}{x - a} = \lim_{x\to a} \frac{\ln\left(1 + {\frac{x}{a} - 1}\right)}{a\left({\frac{x}{a} - 1}\right)} = \frac{1}{a} \cdot 1 = \frac{1}{a}.\end{equation*} Pro derivaci funkce \(f(x) = \ln x\) v bodě \(a > 0\) platí \(f'(a) = \frac{1}{a}\).
Pro grafickou představu o funkci a její derivaci uvádíme obrázek č. 6.4. V závislosti na bodu na ose \(x\) si všimněte vztahu mezi sklonem modré křivky (logaritmus \(\ln x\)) a hodnotou červené křivky (\(1 / x\))!
Obrázek 6.4: Grafy funkcí \(f(x) = \ln(x)\) a \(g(x) = \frac{1}{x}\) pro \(x > 0\).
Poznámka 6.8
Všimněte si, že funkce \(\ln x\) je definovaná na množině \((0,+\infty)\) a v každém bodě \(x\) jejího definičního oboru je její derivace rovna \(\frac{1}{x}\). Funkce \(\frac{1}{x}\) je ale definována pro všechna nenulová \(x\). Označíme-li \(f(x) = \ln |x|\), s definičním oborem \(D_f = \mathbb{R}\smallsetminus\{0\}\), pak v každém bodě \(D_f\) platí \(f'(x) = \frac{1}{x}\). Pro kladná \(x\) jsme to již ověřili. Pro záporná \(x\) není těžké nahlédnout, že stále platí \begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{\ln |x+h| - \ln |x|}{h} &= -\lim_{h\to 0} \frac{\ln (-x{\color{red}-h}) - \ln (-x)}{\color{red}-h} = \\ &= - \lim_{t\to 0} \frac{\ln (-x + t) - \ln(-x)}{t} = - \frac{1}{-x} = \frac{1}{x}.\end{align*}
Příklad 6.9
Pro kladné přirozené \(n\in\mathbb{N}\) je derivací funkce \(x^n\) funkce \(n x^{n-1}\). Nejprve vhodně upravme zkoumaný výraz, \begin{align*} \frac{x^n - a^n}{x - a} &= \frac{1}{x-a} \cdot (x-a) \big( x^{n-1} + x^{n-2} a + \cdots + x a^{n-2} + a^{n-1} \big) \\ &= \underbrace{x^{n-1} + x^{n-2} a + \cdots + x a^{n-2} + a^{n-1}}_{n \ \text{členů}}.\end{align*} Proto \begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = \lim_{x\to a} x^{n-1} + x^{n-2} a + \cdots + x a^{n-2} + a^{n-1} = na^{n-1}.\end{equation*}
Příklad 6.10
Speciálně pak například platí \begin{equation*} \big(x^2\big)' = 2x, \quad \text{nebo} \quad \big( x^{22} \big)' = 22 x^{21}.\end{equation*}
Příklad 6.11
Derivace funkce \(\sin x\) je funkce \(\cos x\) a derivace funkce \(\cos x\) je funkce \(-\sin x\). Pomocí součtového vzorce pro \(\sin\) dostáváme \begin{align*} \lim_{x\to a} \frac{\sin(x) - \sin(a)}{x - a} &= \lim_{x\to a} \frac{\sin(x-a + a) - \sin(a)}{x-a} = \\ &= \lim_{x\to a} \frac{\sin(x-a)\cos(a) + \cos(x-a)\sin(a) - \sin(a)}{x-a} = \\ &= \cos(a)\lim_{x\to a} \frac{\sin(x-a)}{x-a} + \sin(a) \lim_{x\to a} \frac{\cos(x-a) - 1}{x-a} = \\ &= \cos(a) \cdot 1 +\sin(a) \cdot 0 = \cos (a).\end{align*} Využili jsme znalosti již spočtených limit a věty o limitě složené funkce. Navíc \begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{\cos^{2} h - 1}{h} \cdot \frac{1}{\cos h + 1} = \\ &= - \lim_{h\to 0} \frac{\sin^2 h}{h^2} \cdot \frac{h}{\cos h + 1} = -1 \cdot \frac{0}{1+1} = 0.\end{align*} Podobným způsobem můžeme odvodit (proveďte!) \begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{\cos(x) - \cos(a)}{x-a} = -\sin(a),\end{equation*} pro každé \(a\in\mathbb{R}\).