V této části se budeme zabývat speciálním typem číselných posloupností, číselnými řadami. Zhruba řečeno lze říci, že řady vznikají postupným sčítáním členů zadané posloupnosti (viz definici č. 4.1). Později v textu (podkapitola č. 7.4) nám řady umožní počítat funkčních hodnoty některých elementárních funkcí jako \(\sin\), či \(\cos\), které doteď máme ze středních škol zavedené pouze pomocí geometrické konstrukce.
Formální výraz tvaru \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots,\end{equation*} kde \((a_k)_{k=0}^\infty\) je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů \((s_n)_{n=0}^\infty\) definovaná předpisem \begin{equation*} s_n \ceq \sum_{k=0}^n a_k, \quad n\in\mathbb{N}_0,\end{equation*} konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) nazýváme hodnotu limity \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n\).
Konvergence i divergence řady se zachová, změníme-li konečný počet členů řady. Speciálně konvergence řady \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) je ekvivalentní konvergenci řady \(\sum_{k=n_0}^\infty a_k\) pro libovolně zvolené \(n_0 \in \mathbb{N}\). Skutečně, posloupnosti částečných součtů řady \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) a řady \(\sum_{k=n_0}^\infty a_k\) se liší o konstantu (jakou?).
Je důležité rozlišovat mezi pojmy „posloupnost“ a „řada“. Častou studentskou chybou je vzájemné pletení a nepochopení těchto pojmů. Například posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\), kde \(a_n = n^2\), \(n\in\mathbb{N}\), je dobré si představovat jako po sobě jdoucí čísla \begin{equation*} 1, \, 4, \, 9, \, 16, \, 25, \, 36, \, \ldots\end{equation*} a řadu \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) pro stejnou posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) jako po sobě jdoucí čísla \begin{equation*} 1, \, 5,\, 14,\, 30,\, 55,\, 91, \, \ldots,\end{equation*} tedy členy posloupnosti jejích částečných součtů.
Řada \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty k\end{equation*} je divergentní. Skutečně, pro členy posloupnosti jejích částečných součtů platí \begin{equation*} s_n = \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\end{equation*} a triviálně tedy \(\lim_{n\to\infty} s_n = +\infty\). Příslušná řada je proto podle definice divergentní.
Pro \(|q|<1\) řada
Součet v rovnici (4.2) lze odvodit více způsoby. Jednou možností je využít známého vzorce \begin{equation*} x^n - y^n = (x - y) \sum_{k=0}^{n-1} x^{n - 1 - k} y^k,\end{equation*} platného pro \(x,y \in \mathbb{R}\) a \(n \in \mathbb{N}\), kam dosadíme \(x = 1\), \(y = q\) a \(n+1\) místo \(n\), čímž získáme rovnost \begin{equation*} 1 - q^{n+1} = (1 - q) \sum_{k=0}^{n} q^k,\end{equation*} která po jednoduché úpravě přesně dává (4.2). Nebo si můžeme uvědomit, jak se chová \(s_n\) vůči násobení kvocientem \(q\). Konkrétně \begin{equation*} q s_n = s_{n+1} - 1 = s_n + q^{n+1} - 1.\end{equation*} Vyjádříme-li odtud \(s_n\), tak opět získáváme (4.2).
Uvažujme číselnou řadu \(\sum_{n=1}^\infty a_n\), kde \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je aritmetická posloupnost s diferencí \(d\). Snadno spočteme částečné součty jako \begin{equation*} s_n = n\cdot \frac{a_1+a_n}{2} = n \cdot \frac{2a_1 + (n-1)d}{2},\quad n \in \mathbb N.\end{equation*} Řada je tedy konvergentní, právě když \(a_1 = d = 0\).