2.3 Reálná funkce reálné proměnné
Matematická analýza, kterou budeme v tomto kurzu studovat, spočívá převážně ve studiu reálných funkcí reálné proměnné. Intuitivně je takové funkce jednoznačný výsledek nějakého procesu, který lze měřit pomocí reálných čísel. Přitom výsledek procesu závisí na měnícím se vstupu, jehož hodnotu lze opět popsat pomocí reálných čísel. Jedná se tedy o speciální případ zobrazení.
Definice 2.28
Zobrazení \(f: D_f \to \mathbb{R}\), kde \(D_f \subset \mathbb R\), nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Poznámka 2.29
V celém kurzu BI-ZMA budeme termín reálná funkce reálné proměnné povětšinou zkracovat na termín funkce.
Reálná funkce reálné proměnné je často zadána tzv. explicitně. Tedy pomocí funkčního předpisu typu \(f(x) = V(x)\), kde \(V(x)\) je nějaký výraz v proměnné \(x\). Např. \(f(x) = x^2 + 1\). Přirozeným definičním oborem takto zadané funkce nazýváme množinu všech reálných \(x\), pro které má výraz \(V(x)\) smysl jakožto reálné číslo, a lze mu tedy jednoznačně přiřadit reálné číslo. Pokud je dán pouze funkční předpis bez dalších detailů, automaticky máme na mysli funkci definovanou na příslušném přirozeném definičním oboru. Pro připomenutí uvádíme tabulku č. 2.2 s přirozenými definičními obory několika známých funkcí.
Příklad 2.30
Pod funkcí \(f\) zadanou explicitně vzorcem \(f(x) = \sqrt{x + 1}\) si tedy představíme funkci \(f: D_f \to \mathbb R\) určenou tímto předpisem na přirozeném definičním oboru, kterým je množina \(D_f\) takových \(x \in \mathbb R\), že \(\sqrt{x + 1}\) má smysl a dává reálné číslo. Zřejmě tedy \(D_f = \langle -1, +\infty)\).
Příklad 2.31
Uvažme předpis \(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}\). Přirozeným definičním oborem \(f\) je množina \begin{equation*} D_f = \langle 0,1) \cup (1,+\infty).\end{equation*} Podmínky na „smyslupnost“ daného výrazu jsou totiž v tomto případě nenulovost jmenovatele a nezápornost argumentu odmocniny.
| funkce | nerovnosti popisující definiční obor |
|---|---|
| \(\frac{1}{x}\) | \(x \neq 0\) |
| \(\sqrt[2k]{x}\) | \(x \geq 0\), \(k\in\mathbb{N}\) |
| \(\ln(x)\) | \(x > 0\) |
| \(\tg(x)\) | \(x\neq \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\) |
| \(\cotg(x)\) | \(x \neq k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\) |
Tabulka 2.2: Přirozené definiční obory některých elementárních funkcí.
Protože jsou funkce zobrazeními, přenášíme na ně pojmy prostá, na a bijektivní. Také přenášíme zúžení funkce, skládání funkcí a inverzní funkce. Při výše zavedeném značení definičních oborů a oborů hodnot tak dostáváme známé vztahy pro složenou funkci \(g \circ f\), \begin{equation*} D_{g \circ f} = f^{-1}(D_g),\quad H_{g \circ f} = g(H_f\cap D_g),\end{equation*} a také pro inverzní funkci \(f^{-1}\) k prosté funkci \(f\), \begin{align*} D_{f^{-1}} &= H_f, & H_{f^{-1}} &= D_f, \\ f^{-1} \circ f &= \mathrm{id}_{D_f}, & f \circ f^{-1} &= \mathrm{id}_{H_f}.\end{align*}
Dále uvádíme několik příkladů demonstrujících právě zavedené pojmy.
Příklad 2.32
Určíme zda je následující funkce prostá, na, případně bijektivní. \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}\end{equation*} Funkce \(f\) je prostá. Vskutku, předpokládejme, že existují \(x_1 \neq x_2\) taková, že \(f(x_1) = f(x_2)\). Protože \(f(x)\) má stejné znaménko jako \(x\), tak musí mít \(x_1\) stejné znaménko jako \(x_2\) a zjevně též musí být obě nenulová. Předpokládejme, že jsou obě kladná. Potom \(1/x_1 = 1/x_2\) je ekvivalentní \(x_2 = x_1\) a dostáváme spor s předpokladem \(x_1 \neq x_2\). Analogicky postupujeme, pokud by byla obě záporná. Funkce \(f\) je také na. Pro \(y = 0\) platí \(f(0) = 0\) a pro \(y \neq 0\) platí \(f(1/y) = y\), tedy ke každému \(y \in \mathbb R\) najdeme bod \(x\) takový, že \(f(x) = y\). Celkově je tedy \(f\) bijektivní.
Příklad 2.33
Uvažme funkce \(f(x) = \sqrt{x}\) a \(g(x) = \sqrt{|x|}\) jejichž přirozenými definičními obory jsou \(D_{f} = \langle 0,+\infty )\) a \(D_{g} = \mathbb{R}\). Funkce \(f\) je zúžením funkce \(g\) na množinu \(\langle 0,+\infty)\). Platí tedy \(f = g \big|_{\langle 0, +\infty)}\). Funkce \(f\) je prostá a příslušná inverzní funkce \(f^{-1}\) má definiční obor \(D_{f^{-1}} = \langle 0,+\infty)\) a pro každé \(x \geq 0\) platí \(f^{-1}(x) = x^2\). Funkce \(g\) prostá není, protože např. \(g(-1) = g(1) = 1\).
Příklad 2.34
Uvažujme funkce \(f(x) = x^2\) a \(g(x) = \sqrt{x}\). Přirozenými definičními obory jsou \(D_f = \mathbb R\) a \(D_g = \langle 0,+\infty)\). Složená funkce \(g \circ f\) má definiční obor \(D_{g\circ f} = f^{-1}\big(\langle 0,+\infty)\big) = \mathbb R\) a pro každé \(x \in D_{g\circ f}\) platí \((g\circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|\). Složená funkce \(f \circ g\) má definiční obor \(D_{f\circ g} = g^{-1}\big(\mathbb R\big) = \langle 0,+\infty)\) a pro každé \(x \in D_{f\circ g}\) platí \((f\circ g)(x) = f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x\). Je tedy zřejmé, že \(f \circ g \neq g \circ f\). Pokud ale zúžíme \(f\) na \(\langle 0,+\infty)\), dostaneme už prostou funkci, ke které je funkce \(g\) inverzní. Tj. \(\big(f \big|_{\langle 0,+\infty)}\big)^{-1} = g\).
2.3.1 Typy monotonie funkce
Vyjma výše uvedených typů funkcí (prostá, na, bijektivní) rozeznáváme rostoucí a klesající funkce.
Definice 2.35
Funkci \(f\) definovanou na množině \(M\) nazýváme
- rostoucí na množině \(M\), právě když pro každé \(x_1,x_2 \in M\) splňující \(x_1 < x_2\) platí \(f(x_1) \leq f(x_2)\),
- klesající na množině \(M\), právě když pro každé \(x_1,x_2 \in M\) splňující \(x_1 < x_2\) platí \(f(x_1) \geq f(x_2)\),
- ostře rostoucí na množině \(M\), právě když pro každé \(x_1,x_2 \in M\) splňující \(x_1 < x_2\) platí \(f(x_1) < f(x_2)\),
- ostře klesající na množině \(M\), právě když pro každé \(x_1,x_2 \in M\) splňující \(x_1 < x_2\) platí \(f(x_1) > f(x_2)\).
Pokud některý z výše zmíněných pojmů použijeme bez reference na množinu \(M\), pak za \(M\) bereme celý definiční obor uvažované funkce. Například \(f(x) = x^2\), \(x\in D_f = \mathbb{R}\), je funkce rostoucí na \(\langle 0,+\infty)\), ale nejedná se o rostoucí funkci. Funkce \(g(x) = -x^3\), \(x\in D_f = \mathbb{R}\), je ostře klesající.
Není těžké si rozmyslet, že každá ostře rostoucí (nebo ostře klesající) funkce je prostá. Opak ale neplatí, ne každá prostá funkce je ostře klesající (nebo ostře rostoucí). Skutečně, podívejte se na funkci z příkladu č. 2.32.
Často chceme souhrnně mluvit o (ostře) rostoucích nebo klesajících funkcích. Proto zavádíme následující dva pojmy.
Definice 2.36
Funkci, která je rostoucí nebo klesající nazýváme monotonní. Funkci, která je ostře rostoucí nebo ostře klesající nazýváme ryze monotonní.
2.3.2 Graf funkce
Funkci si často můžeme také představit, respektive nakreslit, pomocí jejího grafu. K tomu nejdřív potřebujeme matematicky vyjádřit pojem roviny.
Definice 2.37
Jsou-li \(x\) a \(y\) prvky (nějakých množin), zavedeme symbol \((x,y)\) pro jejich uspořádanou dvojici. Jsou-li \((x,y)\) a \((u,v)\) dvě uspořádané dvojice, pak definujeme rovnost mezi uspořádanými dvojicemi následovně, \begin{equation*} (x,y) = (u,v) \quad \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \quad x = u \ \text{a} \ y = v.\end{equation*} Podobně definujeme uspořádanou \(n\)-tici \((x_1, x_2, \ldots, x_n)\).
Všimněte si, že \(\{x,y\}\) je množina shodná s \(\{y, x\}\), kdežto uspořádané dvojice \((x,y)\) a \((y,x)\) nejsou stejné (obecně). Přesto lze uspořádanou dvojici zavést pouze pomocí množinových pojmů, např. dvojici \((x,y)\) lze ztotožnit s množinou \(\big\{ x, \{x,y\} \big\}\).
Definice 2.38
Nechť \(A\) a \(B\) jsou množiny. Symbolem \(A \times B\) označujeme množinu všech uspořádaných dvojic tvaru \((x,y)\), kde \(x \in A\) a \(y \in B\). Tedy symbolicky \begin{equation*} A \times B \href{Symbol na levé straně je definován výrazem na pravé straně.}{\class{mathpopup}{\ceq}} \href{Množina všech uspořádaných dvojic \(x,y\), kde \(x\) probíhá všechny prvky množiny \(A\) a \(y\) probíhá všechny prvky množiny \(B\).}{\class{mathpopup}{\big\{ (x,y) \,\big|\, x\in A \ \text{a} \ y\in B \big\}}} .\end{equation*} Množina \(A \times B\) se nazývá kartézský součin množin \(A\) a \(B\).
Kartézský součin byl pojmenován na počest René Descarta (latinsky Renatus Cartesius, francouzský matematik, 1596 – 1650). Operace \(\times\) mezi množinami je nekomutativní, tedy množina \(A \times B\) je obecně různá od \(B \times A\).
Příklad 2.39
Uvažme \(A=\{1,2,3\}\) a \(B=\{a,b\}\). Potom \begin{align*} A \times B &= \big\{ (1,a), \, (1,b), \, (2,a), \, (2,b), \, (3,a), \, (3,b) \big\}, \\ B \times A &= \big\{ (a,1), \, (a,2), \, (a,3), \, (b,1), \, (b,2), \, (b,3) \big\}.\end{align*}
V kartézském součinu \(A \times B\) jsou tedy všechny možné uspořádané dvojice \((a,b)\), kde \(a \in A\), \(b \in B\). Nyní již můžeme definovat graf funkce \(f\).
Definice 2.40
Grafem funkce \(f\) nazýváme množinu \begin{equation*} \mathrm{graf}\, f \ceq \big\{ (x,f(x)) \,\big|\, x\in D_f \big\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}.\end{equation*}
Body kartézského součinu \(\mathbb R \times \mathbb R\) se obvykle znázorňují jako body roviny vybavené tzv. kartézským souřadným systémem, což je dvojice vzájemně kolmých směrových přímek nazývaných souřadné osy, které se protínají v bodě zvaném počátek soustavy souřadné. Uspořádané dvojici \((x,y) \in \mathbb R \times \mathbb R\) potom přísluší bod v rovině, který je od počátku ve směru první z os (nazývané osa \(x\)) vzdálen \(x\) jednotek délky a ve směru druhé z os (osa \(y\)) \(y\) jednotek délky. Graf funkce je tedy podmnožina kartézského součinu \(\mathbb R \times \mathbb R\), který můžeme přirozeně interpretovat jako rovinu.
Na obrázku 2.8 jsou pro ilustraci vykreslené grafy několika vybraných funkcí.
Obrázek 2.8: Grafy vybraných funkcí. Funkce na obrázcích a) a b) nejsou ani prosté ani na. Funkce na obrázku c) je prostá i na. Funkce na obrázku d) je pouze na.