3.4 Vybrané posloupnosti
V předešlé podkapitole jsme si ukázali, jak pomocí definice ověřit, že jisté \(\alpha\in\overline{\mathbb{R}}\) je limitou zadané posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\). Ne všechny posloupnosti však limitu mají. Pokud máme podezření, že limita zadané posloupnosti neexistuje, můžeme se pokusit její existenci vyvrátit. Jedním ze způsobů jak vyvrátit existenci limity je „vybrat“ ze zadané posloupnosti dvě „podposloupnosti“ mající vzájemně různou limitu. Přesněji tento postup rozebereme v této podkapitolce. Nejprve definujme potřebné pojmy, na které jsme v tomto odstavci narazili.
Definice 3.21
Nechť \((a_n)_{n=1}^\infty\) je libovolná posloupnost a \((k_n)_{n=1}^\infty\) je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost \((a_{k_n})_{n=1}^\infty\) nazýváme posloupností vybranou z posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\). Posloupnost \((a_{k_n})_{n=1}^\infty\) nazýváme také podposloupností posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\).
Poznámka 3.22
Ve výrazu \(a_{k_n}\) se vyskytuje dvojitý dolní index. V podstatě jde o zápis složeného zobrazení. Přesně řečeno se jedná o \(k_n\)-tý člen posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\). Pomocí \(n\) nejprve určíme \(k_n\) a potom \(a_{k_n}\). Je-li například \(a_n = 2n\), \(n\in\mathbb{N}\) a \(k_n = 3n\), \(n\in\mathbb{N}\), pak platí \(a_{k_n} = 6n\) pro každé \(n\in\mathbb{N}\). Pokud si vzpomeneme na definici posloupnosti (definice č. 3.1), pak si uvědomíme, že se v této poznámce vlastně bavíme o skládání dvou zobrazení.
Příklad 3.23
Posloupnost \((1)_{n=1}^\infty\) je vybraná z \(\big((-1)^n\big)_{n=1}^\infty\). Skutečně, stačí vzít sudé členy, tedy \(k_n = 2n\) pro \(n=1,2,\ldots\) Posloupnost \((1)_{n=1}^\infty\) není vybraná z posloupnosti \((n)_{n=1}^\infty\) i přesto, že se člen s hodnotou \(1\) v posloupnosti \((n)_{n=1}^\infty\) vyskytuje (právě jednou).
Na první setkání může být předešlá definice č. 3.21 nejasná. Členy posloupnosti \((k_n)_{n=1}^\infty\) pouze udávají indexy členů vybíraných z \((a_n)_{n=1}^\infty\). Požadavek aby \((k_n)_{n=1}^\infty\) byla ostře rostoucí znamená, že při výběru členů se nesmím vracet k předchozím členům ani nemohu vybrat stejný člen dvakrát. Pro názornost uvádíme obrázek č. 3.5.
Obrázek 3.5: Vybírání podposloupnosti z posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\).
Příklad 3.24
Uvažme posloupnost \(a_n = (-1)^n n\), \(n=1,2,3,\ldots\). Prvních pár členů tedy je \(-1,2,-3,4,\ldots\) Posloupnost \((2n)_{n=1}^\infty\) je vybraná z \((a_n)_{n=1}^\infty\). Ano, stačí volit ostře rostoucí \(k_n = 2n\) a pak \(a_{k_n} = 2n\) pro každé \(n\in\mathbb{N}\). Posloupnost \((2)\) není vybraná z \((a_n)_{n=1}^\infty\). Sice platí, že když položíme \(k_n = 2\), pak \(a_{k_n} = 2\) pro každé \(n\in\mathbb{N}\), ale \((k_n)_{n=1}^\infty\) není ostře rostoucí (je konstantní s hodnotou \(2\)).
Ihned vyvstává otázka: jak spolu souvisí limita posloupnosti a limita její podposloupnosti? Přímo z definice limity posloupnosti nahlédneme platnost následující věty.
Věta 3.25 (O limitě vybrané posloupnosti)
Nechť posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) má limitu rovnou \(\alpha\in\overline{\mathbb{R}}\). Pak každá posloupnost vybraná z posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) má také limitu \(\alpha\).
Pro \((a_n)_{n=1}^\infty\) platí formule (3.1). Buď \((k_n)_{n=1}^\infty\) libovolná ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel a \(b = (a_{k_n})_{n=1}^\infty\) posloupnost vybraná z \((a_n)_{n=1}^\infty\). Buď \(H_\alpha\) okolí \(\alpha\), limity posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\). Potom existuje \(n_0 \in\mathbb{N}\) takové, že pro \(n > n_0\) je \(a_n \in H_\alpha\). Dle předpokladů o posloupnosti \((k_n)_{n=1}^\infty\) ale existuje ale i \(m_0\) takové, že \(k_{m_0} > n_0\). Je-li tedy \(m > m_0\) pak nutně \(a_{k_m} \in H_\alpha\). Posloupnost \((a_{k_n})_{n=1}^\infty\) má tedy také limitu \(\alpha\).
\(\square\)Příklad 3.26
Platí \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{4n! + n^2} = 0\). Posloupnost \(\Big(\frac{1}{4n!+n^2}\Big)_{n=1}^\infty\) je totiž vybraná posloupnost z \(\Big(\frac{1}{n}\Big)_{n=1}^\infty\) (ověřte!) a již víme, že \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0\). Všimněte si, jak je tento argument (využívající znalosti limity posloupnosti \((1/n)_{n=1}^\infty\)) jednoduchý! Není potřeba přímo ověřovat podmínku v definici limity posloupnosti (pro \(\varepsilon\) hledat \(n_0\) s požadovanými vlastnostmi).
Věta č. 3.25 nám dává jednoduché a užitečné kritérium pro neexistenci limity posloupnosti. Pro zdůraznění si ho zformulujeme jako následující důsledek.
Důsledek 3.27
Lze-li z posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) vybrat dvě podposloupnosti s různými limitami, pak limita původní posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) neexistuje.
Příklad 3.28
Limita posloupnosti \(\big( (-1)^n \big)_{n=1}^\infty\) neexistuje. Vybereme podposloupnosti se sudými a lichými indexy. Tj. položíme \(k_n \ceq 2n\) a \(\ell_n \ceq 2n - 1\) pro \(n=1,2,\ldots\) Potom obě takto zkonstruované vybrané podposloupnosti jsou konstantní s různými limitami: \begin{equation*} a_{k_n} = 1 \to 1, \quad a_{\ell_n} = -1 \to -1.\end{equation*}