V této kapitole se budeme zabývat způsoby jak rozhodnout o konvergenci posloupností. Nejprve si ukážeme důležitá kritéria pro existenci konečné limity nevyžadující její a priorní znalost.
Připomeňme si axiom úplnosti reálných čísel probíraný v podkapitole 2.1.5. Nyní již navíc můžeme podmínku, kladenou na délky intervalů, formulovat pomocí pojmu limity.
Každý smršťující se systém vnořených uzavřených intervalů má neprázdný průnik. Přesněji, pokud \begin{align*} \langle a_n, b_n \rangle &\supset \langle a_{n+1}, b_{n+1} \rangle \quad \text{pro každé} \ n\in\mathbb{N}, \\ \lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) &= 0,\end{align*} pak existuje reálné \(x\) ležící v každém z intervalů \(\langle a_n,b_n \rangle\), \(n\in\mathbb{N}\).
Jak již bylo zmíněno, takovéto \(x\) může být očividně nejvýše jedno (opět rozmyslete!). Předpokládáme-li existenci dvou různých prvků \(x\) a \(y\), ležících v průniku, snadno se dostaneme ke sporu.
Než se pustíme do hlavní části této sekce zaveďme názorný pojem omezené posloupnosti.
Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) nazveme omezenou, právě když existuje \(K > 0\) taková, že \(|a_n| < K\) pro každé \(n \in \mathbb{N}\).
Posloupnost \(\big(\sin(n)\big)_{n=1}^\infty\) je omezená (za \(K\) lze zvolit například číslo \(2\)), ale posloupnost \((n)_{n=1}^\infty\) není omezená.
Dále si zaveďme ještě pojem hromadného bodu, který úzce souvisí s pojmem limity a který budeme dále využívat nejen v této kapitole.
Bod \(\alpha\in\overline{\mathbb{R}}\) nazýváme hromadným bodem21 posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\), právě když v každém okolí \(H_\alpha\) bodu \(\alpha\) leží nekonečně mnoho členů posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\).
Jaký je vztah mezi hromadným bodem posloupnosti a limitou posloupnosti? Pokud má posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) limitu \(\alpha\in\overline{\mathbb{R}}\) pak je tato i hromadným bodem posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\). Na rozdíl od limit může mít zadaná posloupnost více hromadných bodů. Např. posloupnost \(\big((-1)^n\big)_{n=1}^\infty\) má hromadné body \(1\) a \(-1\), ale jak už víme nemá limitu.
Vztah mezi limitami posloupností, hromadnými body a vybranými posloupnosti popisuje následující věta.
Bod \(\alpha\in\overline{\mathbb{R}}\) je hromadným bodem posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\), právě když existuje vybraná posloupnost \((a_{k_n})_{n=1}^\infty\) mající limitu \(\alpha\).
Přistupme nyní k důležité větě nesoucí jméno po Bernardovi Bolzanovi (matematik pocházející z Itálie ale studující v Praze, 1781 – 1848) a Karlovi Weierstrassovi (německý matematik, otec moderní matematické analýzy, 1815 – 1897). Její tvrzení není vůbec očividné a jak uvidíme v důkazu, plyne z axiomu úplnosti množiny reálných čísel.
Každá omezená číselná posloupnost má hromadný bod \(\alpha\) ležící v \(\mathbb{R}\).
Buď \((a_n)_{n=1}^\infty\) omezená posloupnost. Jistě existuje interval \(\langle b_1, c_1 \rangle\) takový, že obsahuje všechny členy posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\). Rozdělíme-li interval \(\langle b_1, c_1 \rangle\) na poloviční intervaly \(\langle b_1, \frac{b_1+c_1}{2} \rangle\) a \(\langle \frac{b_1 + c_1}{2}, c_1 \rangle\), pak aspoň jeden z těchto intervalů obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\), označme ho \(\langle b_2, c_2 \rangle\). Tímto způsobem induktivně sestrojíme systém vnořených intervalů \(\langle b_n, c_n \rangle\) z nichž každý obsahuje nekonečně mnoho členů \((a_n)_{n=1}^\infty\) a pro jejichž délky platí \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} (c_n - b_n) = \lim_{n\to\infty} \frac{c_1-b_1}{2^{n-1}} = 0.\end{equation*} Podle axiomu úplnosti existuje reálné \(x\) patřící do každého z intervalů \(\langle b_n, c_n\rangle\). Protože délky intervalů \(\langle b_n, c_n \rangle\) konvergují k nule, lze pro libovolné okolí \(H_x\) bodu \(x\) nalézt \(n\) dostatečně velké na to, aby celý interval \(\langle b_n, c_n \rangle\) patřil do \(H_x\). Proto lze v \(H_x\) nalézt nekonečně mnoho členů posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) a \(x\) je tedy hromadným bodem \((a_n)_{n=1}^\infty\).
\(\square\)Jinak řečeno, předchozí věta č. 3.43 tvrdí, že z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost.
Následující větu budeme velmi často využívat. Dává nám totiž postačující podmínku pro konvergenci posloupnosti. Pokud ověříme tuto podmínku (v tomto případě monotonii a omezenost posloupnosti) pak je zaručena existence její konečné limity. Jak je patrné z důkazu, jedná se o důsledek předchozí Bolzano–Weierstrassovy věty.
Každá reálná monotonní posloupnost má limitu. Tato limita je konečná, právě když je daná posloupnost omezená.
V případě, že je zkoumaná posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) neomezená, je z definice limity zřejmé, že \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \pm\infty\) (znaménko \(+\) pro neomezenost shora, \(-\) pro zdola). Předpokládejme, že \((a_n)_{n=1}^\infty\) je rostoucí a (shora) omezená. Potom podle Bolzanovy–Weierstrassovy věty má posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) hromadný bod, označme ho \(x\). Buď \(H_x\) libovolné okolí bodu \(x\). Potom existuje jisté \(a_{n_0}\) patřící do \(H_x\). Do tohoto okolí ale musí patřit všechna \(a_n\) s \(n > n_0\), protože pro ně nutně platí \(a_{n_0} \leq a_n \leq x\). Kdyby totiž \(a_n\) přerostlo \(x\), nemohl by \(x\) být hromadným bodem \((a_n)_{n=1}^\infty\).
\(\square\)Zkoumejme limitu posloupnosti
Tento výsledek zdaleka není zřejmý. Kdybyste s členy posloupnosti z předchozího příkladu experimentovali na počítači, tedy počítali v konečné přesnosti (typicky pomocí 64 bitových čísel s pohyblivou desetinnou čárkou), tak byste pravděpodobněji dospěli k závěru, že tato posloupnost konverguje. Rozmyslete proč! K této posloupnosti se později vrátíme a ukážeme si, že do nekonečna jde stejně rychle jako logaritmus.
Další věta nám dává nutnou a postačující podmínku pro konvergenci posloupnosti. Tedy podmínku ekvivalentní s definicí konvergence. Podstatnou výhodou této podmínky je, že vyžaduje pouze znalost členů zkoumané posloupnosti, nepotřebujeme se odvolávat na případnou hodnotu limity (srovnejte s definicí 3.12).
Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) je konvergentní, právě když pro každé \(\veps > 0\) existuje \(n_0 \in \mathbb{N}\) takové, že pro každé \(n,m > n_0\) je \(|a_n - a_m| < \veps\).
Nejprve dokažme implikaci \(\Rightarrow\): nechť má \((a_n)_{n=1}^\infty\) limitu \(\alpha\in\mathbb{R}\). Buď \(\veps > 0\) libovolné. Potom lze nalézt \(n_0\in\mathbb{N}\) takové, že pro každé \(n > n_0\) je \(|a_n - \alpha| < \frac{\veps}{2}\). Takže pro libovolné \(n,m > n_0\) platí \begin{equation*} |a_n - a_m| = |a_n - \alpha + \alpha - a_m| \href{Trojúhelníková nerovnost.}{\class{mathpopup}{\leq}} |a_n - \alpha| + |\alpha - a_m| < \frac{\veps}{2} + \frac{\veps}{2} = \veps.\end{equation*} Při odhadu jsme využili znalosti trojúhelníkové nerovnosti. Nyní se podívejme na implikaci \(\Leftarrow\): nechť \((a_n)_{n=1}^\infty\) splňuje podmínku \begin{equation*} (\forall \veps > 0)(\exists n_0 \in\mathbb{R} )(\forall n,m \in \mathbb{N}) \big(n,m > n_0 \, \Rightarrow \, |a_n - a_m| < \veps\big).\end{equation*} Zvolme za \(\veps = 1\), pak existuje index \(n_0 \in \mathbb{N}\) tak, že \begin{equation*} |a_m - a_{n_0}| < 1 \quad \text{pro každé} \ m > n_0.\end{equation*} Jinak řečeno, pro \(m > n_0\) patří \(a_m\) do intervalu \((a_{n_0} -1, a_{n_0} + 1) = H_{a_{n_{0}}}(1)\). Mimo tento interval může ležet pouze konečný počet prvků posloupnosti. Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) je proto omezená. Podle Bolzanovy–Weierstrassovy věty existuje \(x \in \mathbb{R}\), hromadný bod posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\). Buď \(H_x(\veps/2)\) okolí bodu \(x\). Pro \(\veps/2\) existuje \(n_0\) tak, že pokud \(m,n > n_0\) pak platí \(|a_n - a_m| < \veps/2\). Určitě ale existuje \(m > n_0\) tak, že \(a_m \in H_x(\veps/2)\). Tudíž pro \(n > n_0\) je \begin{equation*} |a_n - x| = |a_n - a_m + a_m - x| \leq |a_n - a_m| + |a_m - x| < \frac{\veps}{2} + \frac{\veps}{2} = \veps\end{equation*}
\(\square\)Vraťme se ještě jednou k posloupnosti harmonických čísel (3.6). Ukažme, že její limita je nekonečno alternativně pomocí Bolzanova–Cauchyova kritéria. Nejprve si opět povšimneme, že zkoumaná posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\), \(a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\), je rostoucí a tedy má limitu (podle věty o limitě monotonní posloupnosti.). Dokažme, že tato limita nemůže být konečná (tj. nemůže patřit do \(\mathbb{R}\)) a proto musí být nutně rovna \(+\infty\). K tomu použijeme Bolzano–Cauchyova kritéria, chceme ukázat jeho negaci. Tedy \begin{equation*} \big( \href{Existuje kladné \(\veps\) tak, že...}{\class{mathpopup}{\exists \veps > 0}} \big) \big( \href{...pro všechna přirozená \(n_0\)...}{\class{mathpopup}{\forall n_0 \in \mathbb{N}}} \big) \big( \href{...existují přirozená \(n,m\) taková, že...}{\class{mathpopup}{\exists n,m\in\mathbb{N}}} \big) \big( \href{...\(n\) a \(m\) jsou větší než \(n_0\) a vzdálenost \(a_n\) od \(a_m\) je větší nebo rovna \(\veps\).}{\class{mathpopup}{n,m>n_0 \ \text{a} \ |a_n - a_m| \geq \veps}} \big),\end{equation*} kde \((a_n)_{n=1}^\infty\) je zkoumaná posloupnost. Zvolme \(\veps = \frac{1}{2}\) a buď \(n_0\in\mathbb{N}\) libovolné. Položme \(n=4n_0\) a \(m=2n_0\), potom \(n > m > n_0\) a \begin{equation*} |a_n - a_m| = \sum_{k=2n_0+1}^{4n_0} \frac{1}{k} \geq \frac{1}{4n_0} \cdot 2n_0 = \frac{1}{2}.\end{equation*} V odhadu jsme použili jednoduchého pozorování: součet \(N\in\mathbb{N}\) kladných čísel je větší nebo roven nejmenšímu z nich krát \(N\).