Základy matematické analýzy

2 Základní pojmy

2.1 Množina reálných čísel 2.2 Zobrazení 2.3 Reálná funkce reálné proměnné

3 Reálné posloupnosti

3.1 Definice reálné posloupnosti 3.2 Vlastnosti posloupností 3.3 Limita číselné posloupnosti 3.4 Vybrané posloupnosti 3.5 Algebraické operace na rozšířené reálné ose 3.6 Věty o posloupnostech a jejich limitach 3.7 Kritéria konvergence posloupností 3.8 Nerovnosti a limity 3.9 Výpočet limit význačných jednoduchých posloupností 3.10 Podílové kritérium

4 Číselné řady

4.1 Definice číselné řady 4.2 Kritéria konvergence číselných řad 4.3 Exponenciální funkce a Eulerovo číslo 4.4 Přirozený logaritmus 4.5 Obecná mocnina

5 Limita a spojitost funkce

5.1 Limita funkce 5.2 Vlastnosti limit funkcí 5.3 Nerovnosti v limitách funkcí 5.4 Definice a kriteria spojitosti 5.5 Spojitost elementárních funkcí 5.6 Další důležité limity a důsledky Heineho věty 5.7 Limity funkcí tvaru \(f(x)^{g(x)}\) se speciálním přihlédnutím k limitám typu \(0^0\) a \(1^\infty\)

6.1 Rychlost a hledání tečny 6.2 Derivace funkce 6.3 Vlastnosti derivace funkce 6.4 Derivace elementárních funkcí: přehled a příklady 6.5 Jednostranné derivace a derivace vyšších řádů 6.6 Maximum, minimum, supremum a infimum 6.7 Extrémy funkce 6.8 Věta o přírůstku funkce 6.9 Vyšetřování průběhu funkce a hledání jejích extrémů 6.10 l'Hospitalovo pravidlo 6.11 Příklady 6.12 Separace kořenů 6.13 Newtonova metoda

7 Taylorovy polynomy

7.1 Aproximace funkcí pomocí polynomů 7.2 Taylorův polynom 7.3 Chyba aproximace 7.4 Mocninné a Taylorovy řady 7.5 Příklady

8 Primitivní funkce

8.1 Neurčitý integrál 8.2 Integrace per partes 8.3 Věty o substituci v neurčitém integrálu 8.4 Integrace racionálních lomených funkcí 8.5 Poznámky k integraci

9 Riemannův integrál

9.1 Konstrukce Riemannova integrálu 9.2 Vlastnosti Riemannova integrálu 9.3 Per partes a substituce pro určitý integrál 9.4 Zobecněný Riemannův integrál 9.5 Výpočet obsahů plošných útvarů

10 Další příklady a aplikace

10.1 Křivky 10.2 Celková změna a okamžitá změna 10.3 Úvod do Landauovy symboliky 10.4 Odhadování asymptotického chování součtů 10.5 Složitost třídících algoritmů

11 Přehled použitého značení

Index Literatura

4.4 Přirozený logaritmus

Připomeňme si výsledek předchozí sekce. Exponenciální funkce \(x \mapsto e^x\) je ostře rostoucí (a tedy i prostá). Z bodu c. věty č. 4.23 dále víme, že \(e^x\) je kladné pro každé reálné \(x\). Platí ale víc, oborem hodnot exponenciální funkce je²⁶ množina \((0,+\infty)\).

Definice 4.26

Existuje tedy inverzní funkce k exponenciále, která je také ostře rostoucí a zobrazuje \((0,+\infty)\) na \(\mathbb{R}\). Tuto funkci nazýváme přirozeným logaritmem a značíme symbolem \(\ln\).

Věta 4.27 (Vlastnosti přirozeného logaritmu)

Přirozený logaritmus \(\ln\) oplývá následujícími vlastnostmi:

pro každé \(x\in\mathbb{R}\) platí \(\ln e^x = x\) a pro každé \(x\in(0,+\infty)\) platí \(e^{\ln x} = x\),
\(\ln e = 1\) a \(\ln 1 = 0\),
pro \(x,y \in (0,+\infty)\) platí \(\ln(xy) = \ln x + \ln y\).

Plyne přímo z definice inverzní funkce (viz definici č. 2.26).
Plyne přímo z definice inverzní funkce a vztahů \(e^1 = e\) a \(e^0 = 1\).
Uvažme \(x,y \in (0,+\infty)\) a označme \(x' \ceq \ln x\) a \(y' \ceq \ln y\), čili \(e^{x'} = x\) a \(e^{y'} = y\). Dle bodu b. věty č. 4.23 platí \(xy = e^{x'+y'}\), neboli \(\ln(xy) = x' + y' = \ln x + \ln y\).

\(\square\)