Věta o limitě součtu, součinu a podílu nám dávala nástroj na výpočet limit součtu, součinu a podílu funkcí za předpokladu, že součet, součin či podíl byl definován v \(\overline{\mathbb{R}}\). Pokud limita byla například typu \(+\infty-(+\infty)\), nebo \(0\cdot+\infty\), tak jsme s danou funkcí ještě museli dále zacvičit.
Nyní se podíváme jak je to s výpočty limit funkcí ve tvaru \(f(x)^{g(x)}\). Hlavním výsledkem této podkapitoly bude věta č. 5.60. Tato věta na první pohled může vypadat komplikovaně, protože ošetřuje několik možných situací, které mohou nastat a navíc některé vynechává (viz příklady níže v této podkapitole). I z toho důvodu je toto pěkný příklad věty, kde je důležité pochopit důkaz, protože v konkrétním příkladě je jednoduší uvedený důkaz provést, než si tuto větu pamatovat. Celé tvrzení stojí na tom, že výraz \(f(x)^{g(x)}\) přepíšeme pomocí exponenciální funkce na výraz \(e^{g(x) \ln f(x)}\) a poté řešíme už limitu součinu \(g(x) \ln f(x)\). Pojďme nejprve zformulovat hlavní větu.
Uvažme funkce \(f\) a \(g\) definované na okolí bodu \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) s možnou výjimkou bodu \(a\) samotného a nechť funkce \(f\) je kladná na nějakém okolí bodu \(a\). Předpokládejme dále, že existují limity \begin{equation*} \alpha \ceq \lim_{x \to a} f(x) \quad \text{a} \quad \beta \ceq \lim_{x \to a} g(x).\end{equation*} Potom platí následující tři tvrzení:
Důkaz stojí na využití vlastností exponenciální a logaritmické funkce a spojitosti exponenciální funkce. Navíc není nijak komplikovaný, takto bychom danou limitu jednoduše i počítali. Nejprve si povšimněme, že za uvedených předpokladů je funkce \begin{equation*} h(x) = f(x)^{g(x)}\end{equation*} definovaná na okolí bodu \(a\), s možnou výjimkou bodu \(a\) samotného, a má tedy smysl počítat její limitu v bodě \(a\). Nyní provedeme úpravu \begin{equation*} h(x) = e^{g(x) \ln f(x)}\end{equation*} a budeme zkoumat limitu argumentu exponenciály v bodě \(a\), tj. limitu \begin{equation*} \lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln f(x).\end{equation*} Postupně nyní projdeme uvedené předpoklady:
Pokud je limita \begin{equation*} \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}\end{equation*} typu \(1^\infty\) (tj. \(\lim_a f = 1\) a \(\lim_a g\) je \(+\infty\) nebo \(-\infty\)), pak případný výsledek závisí na samotných \(f\) a \(g\). Například (ve výpočtech využíváme znalosti známých limit odvozených v předchozí podkapitole č. 5.6): \begin{align*} \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x^2} &= \lim_{x \to +\infty} e^{x \cdot \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}} = +\infty, \\ \lim_{x \to 0} \left(1 + x^3\right)^{1/x^2} &= \lim_{x \to 0} e^{x \cdot \frac{\ln(1 + x^3)}{x^3}} = e^{0 \cdot 1} = 1, \\ \lim_{x \to -\infty} \left( 1 + \frac{\alpha}{x} \right)^x &= e^{\alpha}, \\ \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-x^2} &= \lim_{x \to +\infty} e^{-x \cdot \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}} = 0.\end{align*} Všechny tyto limity jsou typu \(1^\infty\). Jako výsledek můžeme dostat libovolný prvek množiny \(\langle 0, +\infty) \cup \{+\infty\}\).
Pokud je limita \begin{equation*} \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}\end{equation*} typu \(0^0\) (tj. \(\lim_a f = 0\) a \(\lim_a g = 0\)), pak případný výsledek závisí na konkrétním chování funkcí \(f\) a \(g\). Například pro libovolné reálné \(\alpha\) máme \begin{align*} \lim_{x \to +\infty} \left( e^{-x} \right)^{-\alpha/x} &= e^\alpha, \\ \lim_{x \to +\infty} \left( e^{-x^2} \right)^{1/x} &= \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0, \\ \lim_{x \to +\infty} \left( e^{-x^2} \right)^{-1/x} &= \lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty.\end{align*} Z těchto příkladů vidíme, že i když je limita typu \(0^0\), tak výsledek může být libovolný prvek \(\langle 0,+\infty) \cup \{+\infty\}\). Na tomto místě se hodí zmínit i limitu \begin{equation*} \lim_{x \to 0_+} x^x = \lim_{x\to 0_+} e^{x \ln x} = e^0 = 1.\end{equation*} K jejímu výpočtu ale potřebujeme znát limitu \(\lim_{x \to 0_+} x \ln(x) = 0\), kterou odvodíme zanedlouho v příkladě č. 6.61.