Vypočtěte obsah \(S\) elipsy s hlavní poloosou \(a\) a vedlejší poloosou \(b\). Rovnice elipsy je \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). Vzhledem k osovým symetriím stačí spočítat čtvrtinu obsahu (vizte obrázek č. 9.12). Vrchní oblouk elipsy patřící do prvního kvadrantu je popsán funkcí \({\color{red}f}(x) = b \sqrt{1-x^2/a^2}\), \(D_{\color{red}f} = \langle 0,a \rangle\). Tudíž, použijeme-li substituci \(x = a \sin t\), \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{1}{4} S &= \int_0^a f(x) \,\mathrm{d}x = b \int_0^a \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,\mathrm{d}x = b \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot a\cos(t)\,\dt = \\ &= ab\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) \,\dt = \frac{\pi}{4} ab. \end{aligned}\end{equation*} Pro celkovou plochu tak dostáváme \(S=\pi ab\).

Spočítejte obsah plochy ohraničené křivkami \(y = x^3\) a \(y = x\). Tato plocha je vyobrazena na obrázku č. 9.13. Nejprve nalezneme průsečíky grafů. Řešením rovnice \(x^3 = x\) jsou \(x=-1\), \(x=1\) a \(x=0\). Dostáváme proto průsečíky \begin{equation*} (-1,-1), \ (1,1) \ \text{a} \ (0,0).\end{equation*} Z náčrtku (resp. průběhu) je pak patrné, že obsah plochy je \begin{equation*} S = 2 \int_{0}^1 \big( x - x^3 \big) \mathrm{d}x = 2 \bigg[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \bigg]_0^1 = 2 \bigg( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \bigg) = \frac{1}{2}.\end{equation*}

Nalezněte obsah plochy ohraničené křivkami \begin{equation*} y = \frac{1}{4} x^2 - 1, \quad y = 1 - \frac{1}{4} x^2, \quad x^2 + y^2 = 1,\end{equation*} která je vyobrazena na obrázku č. 9.14. Obsah útvaru bez vyjmuté kružnice je \begin{equation*} \int_{-2}^2 \bigg( 1 - \frac{1}{4} x^2 \bigg) - \bigg( \frac{1}{4} x^2 - 1 \bigg) \,\mathrm{d}x = 2\int_0^2 2 - \frac{1}{2} x^2 \,\mathrm{d}x = 2\Big[ 2x - \frac{x^3}{6} \Big]_0^2 = \frac{16}{3}.\end{equation*} Takže plocha našeho útvaru je \begin{equation*} S = \frac{16}{3} - \pi.\end{equation*}