5.1 Limita funkce
U posloupností \((a_n)_{n=1}^\infty\) jsme zkoumali, jak se chovají jejich členy pro velká \(n\). Pokud se jejich členy „blížily“ k jistému \(\alpha\in\overline{\mathbb{R}}\), pak jsme tuto hodnotu nazývali limitou této posloupnosti. Význam slova „blížit“ přesně popisovala definice č. 3.12, která říkala, že v „každém“ okolí bodu \(\alpha\) leží všechny členy posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) až na konečný počet výjimek.
Nyní u funkcí se můžeme ptát, jak se zadaná funkce \(f\) chová, když se nezávislá proměnná \(x \in D_f\) blíží k zadanému bodu \(a\in \mathbb{R}\), případně \(\pm\infty\) (tj. roste nad/pod všechny meze). V následující definici limity funkce si všimněte podobnosti s definicí limity posloupnosti (definice 3.12).
Definice 5.1 (Limita funkce / limit of a function)
Buďte \(f\) reálná funkce reálné proměnné a \(a\in\overline{\mathbb{R}}\). Nechť \(f\) je definovaná na okolí bodu \(a\), s možnou výjimkou bodu \(a\) samotného. Řekneme, že \(c\in\overline{\mathbb{R}}\) je limitou funkce \(f\) v bodě \(a\), právě když pro každé okolí \(H_c\) bodu \(c\) existuje okolí \(H_{a}\) bodu \(a\) takové, že z podmínky \begin{equation*} x \in \href{Množina všech prvků z množiny \(H_a\) vyjma \(a\) samotného.}{\class{mathpopup}{H_a \smallsetminus \{ a \}}}\end{equation*} plyne \begin{equation*} f(x) \in H_c.\end{equation*} V symbolech \begin{equation*} \big( \href{Pro všechna okolí \(H_c\) bodu \(c\)...}{\class{mathpopup}{\forall H_c}} \big)\big( \href{...existuje okolí \(H_a\) bodu \(a\) tak, že...}{\class{mathpopup}{\exists H_a}} \big)\big( \href{...pro všechna \(x\) z \(D_f\) platí...}{\class{mathpopup}{\forall x \in D_f}} \big) \big( \href{...pokud \(x\) patří do \(H_a\) a není \(a\), pak \(f(x)\) patří do \(H_c\).}{\class{mathpopup}{x \in H_{a}\smallsetminus \{a\} \Rightarrow f(x) \in H_c}} \big).\end{equation*} Tuto skutečnost zapisujeme \begin{equation*} \lim_{x\to a} f(x) = c, \ \text{případně} \ \quad \lim_a f = c.\end{equation*}
Poznámka 5.2
Je možné, že z dřívějšího studia znáte pojmy „vlastní“ a „nevlastní“ limita ve „vlastním“ / „nevlastním“ bodě. V BI-ZMA tyto pojmy nepoužíváme. Definice všech těchto pojmů je obsažena v naší definici č. 5.1.
Poznámka 5.3
V případě kdy \(a\) i \(c\) jsou prvky \(\mathbb{R}\) je podmínka \begin{equation*} \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = c\end{equation*} ekvivalentní požadavku, aby \(f\) byla definována na okolí bodu \(a\) s možnou výjimkou bodu \(a\) samotného a \begin{equation*} \big(\forall\veps>0\big)\big(\exists\delta>0\big)\big( \forall x \in D_f)( 0 < |x - a| < \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - c| < \veps\big).\end{equation*} Analogické formule lze zformulovat pro různé kombinace případů \(a,c\in\overline{\mathbb{R}}\).
Hodnota limity funkce \(f\) v bodě \(a\) závisí pouze na chování funkce \(f\) na okolí bodu \(a\) mimo bod \(a\). Limita funkce \(f\) v bodě \(a\) může být různá od funkční hodnoty \(f(a)\). Příkladem budiž funkce \(f(x) \ceq \sgn x^2\) definovaná na celém \(\mathbb{R}\). Ačkoliv pro funkční hodnotu platí \(f(0) = 0\), pro limitu máme \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) =1\).
Funkce \(f\) v bodě \(a\) ani nemusí být definovaná, přesto limita může existovat. Příkladem je funkce \(f(x) \ceq \sgn \frac{1}{x^2}\), \(D_f = \mathbb{R} \smallsetminus \{0\}\). Ačkoliv \(0\) nepatří do \(D_f\) platí \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = 1\).
K snazšímu představení si požadavků v definici 5.1 uvádíme obrázek 5.1.
Obrázek 5.1: Limita funkce, ilustrace pro \(a,c\in\mathbb{R}\).
V definici 5.1 jsme se dívali na chování funkce \(f\) na celém okolí bodu \(a\) (vyjma bodu \(a\) samotného). Podobně můžeme zkoumat chování funkce pouze vpravo, či vlevo, od zadaného bodu \(a\). Získáváme tak pojem limity funkce zprava, či zleva.
Definice 5.4
Buďte \(f\) reálná funkce reálné proměnné a \(a\in\mathbb{R}\). Nechť \(f\) je definovaná na levém, resp. pravém, okolí bodu \(a\) s možnou výjimkou bodu \(a\) samotného. Řekneme, že \(c\in\overline{\mathbb{R}}\) je limitou funkce \(f\) v bodě \(a\) zleva, resp. zprava, právě když pro každé okolí \(H_c\) bodu \(c\) existuje levé okolí \(H_a^-\), resp. pravé okolí \(H_a^+\), bodu \(a\) takové, že z podmínky \begin{equation*} x \in H^-_a \smallsetminus \{a\}, \ \text{resp.} \ x \in H^+_a \smallsetminus\{a\},\end{equation*} plyne \begin{equation*} f(x) \in H_c.\end{equation*} Zapisujeme \begin{equation*} \lim_{x\to a-} f(x) = c, \ \text{případně} \ \lim_{a-} f = c,\end{equation*} resp. \begin{equation*} \lim_{x\to a+} f(x) = c, \ \text{případně} \ \lim_{a+} f = c.\end{equation*}
Pro lepší představu odkazujeme čtenáře na obrázek 5.2. Na závěr této podkapitoly uveďme několik příkladů výpočtů limit jednoduchých funkcí.
Obrázek 5.2: Jednostranná limita funkce, ilustrace pro \(a,c\in\mathbb{R}\).
Příklad 5.5
Limita konstantní funkce je rovna dané konstantě. Je-li \(c\in\mathbb{R}\) zadaná konstanta a \(f(x) = c\) pro každé \(x\in D_f = \mathbb{R}\), pak pro libovolný bod \(a\in\mathbb{R}\) platí \(\lim_{x\to a} f(x) = c\). Skutečně, buď \(H_c(\varepsilon)\) libovolné okolí bodu \(c\) s poloměrem \(\varepsilon > 0\). V případě naší konstantní funkce můžeme zvolit libovolné okolí \(H_a(\delta)\) bodu \(a\) s poloměrem \(\delta > 0\). Pak totiž pro \(x\in H_a(\delta) \smallsetminus \{a\}\) jistě platí \(f(x) = c \in H_c(\varepsilon)\).
Příklad 5.6
Pro libovolné \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) platí \begin{equation*} \lim_{x\to a} x = a.\end{equation*} Skutečně, vezmeme-li libovolné okolí \(H_a\) bodu \(a\) pak pro \(x\in H_a\smallsetminus\{a\}\) zcela jistě platí, že \(x \in H_a\).
Příklad 5.7
Platí \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty.\end{equation*} Skutečně, buď \(H_{+\infty}(c)\) okolí bodu \(+\infty\) a \(c>0\). Hledáme okolí \(H_0(\delta)\) bodu \(0\) o poloměru \(\delta > 0\) takové, že pokud \(x \in H_0(\delta) \smallsetminus \{0\}\) pak \(\frac{1}{x^2} \in H_{+\infty}(c)\). Požadujeme tedy aby \begin{equation*} \frac{1}{x^2} > c \ \Leftrightarrow \ x^2 < \frac{1}{c} \ \Leftrightarrow \ |x| < \frac{1}{\sqrt{c}}.\end{equation*} Stačí proto zvolit třeba \(\delta := \frac{1}{\sqrt{c}}\). Pokud bychom uvažovali \(H_{+\infty}(d)\) s \(d \leq 0\), pak stačí zvolit třeba \(c = 1\) z předchozího odstavce, \(H_{+\infty}(c) \subset H_{+\infty}(d)\), a zkonstruovat \(\delta\) jak je popsáno v předchozím odstavci.
Příklad 5.8
Platí \begin{equation*} \lim_{x\to 0+} \frac{1}{x} = +\infty \quad \text{a} \quad \lim_{x\to 0-} \frac{1}{x} = -\infty.\end{equation*} Ukažme nejprve první z limit. Buď \(H_{+\infty}(c)\) libovolné okolí bodu \(+\infty\) dané konstantou \(c>0\) (nekladné \(c\) můžeme ošetřit podobně jako v předchozím příkladu). Zvolíme-li \(\delta = \frac{1}{c} > 0\), pak pro \(x\in (0,\delta) = H_0^+(\delta)\smallsetminus\{0\}\) platí \begin{equation*} 0 < x < \delta \ \Rightarrow \ \frac{1}{x} > \frac{1}{\delta} = c.\end{equation*} Podobně v druhém příkladě pro libovolné okolí \(H_{-\infty}(c)\) bodu \(-\infty\) zadané konstantou \(c < 0\) stačí položit \(\delta = \frac{1}{|c|} > 0\). Pak pro libovolné \(x \in H_0^-(\delta) \smallsetminus \{0\} = (-\delta,0)\) platí \begin{equation*} -\delta < x < 0 \ \Rightarrow \ \frac{1}{x} < -\frac{1}{\delta} = - |c| = c.\end{equation*} Vzpomeňte, že \(c < 0\). Na tomto místě je dobré si připomenout graf hyperboly \(y = \frac{1}{x}\).