6.1 Rychlost a hledání tečny

Začněme nejprve s jednoduchým motivačním příkladem s fyzikálním nádechem. Jaký je vztah mezi polohou a rychlostí tělesa? Uvažme případ tělesa pohybujícího se podle obrázku 6.1.

Obrázek 6.1: Graf uražené vzdálenosti v závislosti na čase.

Graf na obrázku 6.1 zachycuje vzdálenost \(d\) uraženou tělesem (např. vozidlem) v závislosti na čase. Poloha \(d\) tělesa je tedy funkcí času \(t\). Průměrná rychlost tělesa mezi okamžiky \(t_1 < t_2\) je dána podílem \begin{equation*} \frac{d(t_2) - d(t_1)}{t_2 - t_1}.\end{equation*} Čím jsou \(t_1\) a \(t_2\) navzájem blíže, tím lépe průměrná rychlost odpovídá okamžité rychlosti vozidla. V čase \(t_1\) se tedy těleso pohybuje okamžitou rychlostí \begin{equation*} \lim_{t_2 \to t_1} \frac{d(t_2) - d(t_1)}{t_2 - t_1}.\end{equation*}

Nad tímto problémem se můžeme zamýšlet i geometricky. Díváme-li se na graf uražené vzdálenosti, pak „sklon“ tohoto grafu v daném bodě udává okamžitou rychlost. Podrobněji tento pohled rozebereme na obrázku 6.2, hlavní otázkou je, jak určit „sklon“ grafu v daném bodě. Zde vstoupí do hry pojem tečny ke grafu funkce. Na obrázku 6.2 uvádíme grafickou reprezentaci konstrukce tečny limitním procesem pomocí sečen. Vidíme, že výše uvedený podíl lze interpretovat jako tangens úhlu svíraného tečnou grafu funkce a osou \(x\) (směrnice).

Obrázek 6.2: Konstrukce tečny.