Již jsme zavedli dvě lokální vlastnosti funkcí. Máme-li zadánu funkci \(f\) a bod \(a\) v jejím definičním oboru, můžeme zkoumat spojitost funkce \(f\) v bodě \(a\) a diferencovatelnost funkce \(f\) v bodě \(a\). Jak spolu tyto pojmy souvisí?
Je-li \(f\) funkce diferencovatelná v bodě \(a\), pak je spojitá v bodě \(a\). Tj. platí implikace \begin{equation*} f'(a) \in \mathbb{R} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x\to a} f(x) = f(a).\end{equation*}
Elementární úpravou a použitím věty o limitě součinu \begin{align*} \lim_{x\to a} \big( f(x) - f(a) \big) & = \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \cdot (x-a) = \\ &= \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \cdot \lim_{x\to a} (x-a) = f'(a) \cdot 0 = 0.\end{align*} Tedy \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\). Poznamenejme, že „diferencovatelnost“ znamená \(f'(a) \in \mathbb{R}\) a výraz na konci výpočtu proto má za uvedených předpokladů smysl.
\(\square\)Obrácené tvrzení neplatí. Přesněji, ze spojitosti funkce \(f\) v bodě \(a\) neplyne její diferencovatelnost v bodě \(a\). Jako příklad lze uvážit funkci \(f(x) = |x|\) a bod \(a = 0\). Skutečně, protože \begin{align*} \lim_{h \to 0_+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0_+} \sgn(h) = +1, \\ \lim_{h \to 0_-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0_-} \sgn(h) = -1\end{align*} oboustranná limita (tedy derivace funkce \(f\) v bodě \(0\), \(f'(0)\)) \begin{equation*} \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}\end{equation*} neexistuje. Funkce \(f\) je však v bodě \(0\) spojitá, jak snadno nahlédneme vypočtením její limity v bodě \(0\).
Dokonce, existují funkce spojité na celém \(\mathbb{R}\) nemající derivaci ani v jednom bodě. Např. \begin{equation*} f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\{10^n \cdot x\}}{10^n},\end{equation*} kde \(\{x\}\) značí vzdálenost reálného čísla \(x\) od nejbližšího celého čísla. Protože \(0 \leq \{x\} < 1\) konverguje řada absolutně pro každé \(x\). Definičním oborem funkce \(f\) je proto celá reálná osa \(D_f = \mathbb{R}\). Ukázat spojitost a diferencovatelnost je však už složitější. Potřebovali bychom použít vlastnosti pojmu „stejnoměrné konvergence“ funkčních řad, který však v BI-ZMA studovat nebudeme.
Pokud má funkce v daném bodě nekonečnou derivaci, nemusí v něm být spojitá. Například o funkci \(f(x) = \sgn(x)\) víme, že není spojitá v bodě \(a = 0\), protože obě jednostranné limity jsou navzájem různé. V bodě \(a=0\) ale má tato funkce derivaci a její hodnota je \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x\to 0} \frac{\sgn x - \sgn 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{|x|} = +\infty.\end{equation*}
Přistupme nyní k problému výpočtu derivace za předpokladu znalosti derivací jistých funkcí. Opět se jedná o aplikaci vět o limitách funkcí.
Nechť funkce \(f\) a \(g\) jsou diferencovatelné v bodě \(a\). Potom platí
Pravidlo pro derivaci součinu se někdy též nazývá Leibnizovo pravidlo ( Gottfried Wilhelm von Leibniz, německý matematik a filozof, 1646 – 1716). Platí tedy například \begin{align*} \left(\sin(x)\cos(x)\right)' &= \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) = \cos(2x), \\ \left(x\sin(x)\right)' &= 1\cdot \sin(x) + x\cdot\cos(x)\end{align*}
Ukažme si, jak dokázat pravidla pro derivaci součtu a součinu funkcí. Předpokládejme, že funkce \(f\) a \(g\) jsou diferencovatelné v bodě \(a\). Potom \begin{align*} \lim_{x\to a} \frac{f(x) + g(x) - f(a) - g(a)}{x- a} &= \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} + \frac{g(x) - g(a)}{x-a} = f'(a) + g'(a), \\ \lim_{x\to a} \frac{f(x)g(x) - f(a) g(a)}{x-a} &= \lim_{x\to a} \frac{f(x) (g(x) - g(a)) + g(a)(f(x) - f(a))}{x - a} = \\ &= f(a) \cdot g'(a) + g(a) \cdot f'(a).\end{align*} Zde jsme vždy použili větu č. 5.18 o limitě součtu a součinu (výrazy jsou díky diferencovatelnosti definovány) a navíc jsme použili spojitost \(f\) a \(g\), která, jak víme z věty č. 6.12, plyne z diferencovatelnosti.
\(\square\)Důkaz vzorečku pro podíl se provede stejným způsobem. Ukažme si nyní použití věty č. 6.13 na několika příkladech.
Pro derivace funkcí \(\tg\) a \(\cotg\) platí \begin{align*} \tg'(x) &= \frac{1}{\cos^2(x)}, \quad x\in\mathbb{R}\smallsetminus\Big\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Big| k\in\mathbb{Z}\Big\}, \\ \cotg'(x) &= -\frac{1}{\sin^2(x)}, \quad x\in\mathbb{R}\smallsetminus\big\{ k\pi \big| k\in\mathbb{Z}\big\}.\end{align*} Pomocí pravidla pro derivaci podílu dostáváme vztahy \begin{align*} \tg'(x) &= \left(\frac{\sin}{\cos} \right)'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}, \\ \cotg'(x) &= \left( \frac{\cos}{\sin} \right)'(x) = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = - \frac{1}{\sin^2(x)},\end{align*} platné na příslušných definičních oborech.
Nyní tedy umíme derivovat součty, součiny a podíly funkcí, jejichž derivace již známe. Je možné derivovat i složené funkce, s kterými často přicházíme do styku? Odpověď na tuto otázku je kladná.
Nechť \(g\) je funkce diferencovatelná v bodě \(a\), \(f\) je diferencovatelná v bodě \(g(a)\). Potom funkce \(f\circ g\) je diferencovatelná v bodě \(a\) a platí \begin{equation*} (f \circ g)'(a) = f'\big( g(a) \big) \cdot g'(a).\end{equation*}
Důkaz je založen na úpravě \begin{equation*} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a} = \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{g(x) - g(a)} \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x-a},\end{equation*} platné pro každé \(x \neq a\) pro které navíc \(g(x) \neq g(a)\) a větě o limitě složené funkce. Funkce \(f\) je diferencovatelná v bodě \(g(a)\) a proto je jistě i definována na okolí tohoto bodu, dejme tomu \(H_{g(a)}\). Definujme funkci \begin{equation*} h(x) := \begin{cases} \frac{f(x) - f(g(a))}{x-g(a)}, & x \in H_{g(a)} \smallsetminus \{g(a)\}, \\ f'(g(a)), & x = g(a). \end{cases}\end{equation*} Tato funkce je definována na \(H_{g(a)}\), podle předpokladů pro ni platí \begin{equation*} \lim_{x \to g(a)} h(x) = f'(g(a))\end{equation*} a je proto spojitá v bodě \(g(a)\). Díky spojitosti funkce \(g\) v bodě \(a\) nyní platí rovnost \begin{equation*} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a} = h(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x-a},\end{equation*} pro všechna \(x \neq a\) z nějakého okolí bodu \(a\) (speciálně i ve tvaru \(0=0\) pro ta, pro která případně platí \(g(x) = g(a)\)). Podle věty o limitě složené funkce je limita funkce \(h(g(x))\) v bodě \(a\) rovna \(f'(g(a))\). Skutečně, \(g\) v bodě \(a\) má za limitu \(g(a)\), \(h\) v bodě \(g(a)\) má za limitu \(f'(g(a))\) a třetí předpoklad této věty je splněn díky spojitosti \(h\) v bodě \(g(a)\). Konečně podlě věty o limitě součinu z poslední rovnice dostaneme \begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a} = \lim_{x\to a} h(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x-a} = f'(g(a)) \cdot g'(a).\end{equation*}
\(\square\)Platí tedy například: \begin{equation*} \left( e^{x^2} \right)' = e^{x^2} \cdot 2x, \quad \left(\sin\big(\cos(x)\big)\right)' = \cos\big(\cos(x)\big) \cdot \big(-\sin(x)\big).\end{equation*} Skutečně, v prvním příkladě je vnější funkcí \(f(x) = e^x\) a vnitřní funkcí \(g(x) = x^2\). Pak totiž \begin{equation*} (f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big) = e^{g(x)} = e^{x^2}.\end{equation*} A podle '>věty o derivaci složené funkce \begin{equation*} (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{x^2} \cdot 2x.\end{equation*} Podobně lze postupovat i v druhém příkladě.
Derivace funkce \(h(x) = x^\alpha\), \(x > 0\) a \(\alpha\in\mathbb{R}\), je opět \(h'(x) = \alpha x^{\alpha - 1}\). Víme, že pro kladné \(x > 0\) platí \(x^\alpha = e^{\alpha\ln x}\). Označme \(f(x) = e^x\) vnější funkci a \(g(x) = \alpha\ln(x)\) vnitřní funkcí, tedy \(x^{\alpha} = f(g(x))\). Potom podle '>věty o derivaci složené funkce máme \begin{equation*} (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{\alpha \ln x} \cdot \frac{\alpha}{x} = x^{\alpha} \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha - 1}, \quad x > 0.\end{equation*}
Derivace funkce \(f(x) = a^x\), \(x\in\mathbb{R}\), kde \(a>0\) je \(f'(x) = a^x \ln a\). Platí \(h(x) = e^{x\ln a}\). Označme vnější funkci \(f(x) = e^x\) a vnitřní funkci \(g(x) = x\ln a\). Potom podle '>věty o derivaci složené funkce platí \begin{equation*} h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a.\end{equation*}
V poslední části této podkapitoly budeme hledat vzorečky pro derivace zbývajících elementárních funkcí. K nim patří i jejich inverzní funkce. Nyní proto musíme podrobněji prozkoumat vlastnosti inverzních funkcí a ukázat, jak hledat jejich derivace. Znění následující věty může na první čtení znít komplikovaně. Graf funkce a její inverzní funkce jsou osově symetrické vůči ose prvního kvadrantu. Zkuste si rozmyslet co se stane se směrnicí tečny grafu funkce, pokud ji osově překlopíme vzhledem k ose prvního kvadrantu? To vlastně říká následující věta.
Buďte \(f\) spojitá a ryze monotónní na intervalu \(I=(a,b)\) a bod \(c\in I\). Má-li inverzní funkce \(f^{-1}\) konečnou nenulovou derivaci v bodě \(f(c)\), potom má \(f\) derivaci v bodě \(c\) a platí
Označme \(d = f(c)\). Všimněme si, že pro \(x\in I\), \(x\neq c\) platí \begin{equation*} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \Bigg( \frac{f^{-1}\big({\color{red}f(x)}\big) - f^{-1}(d)}{{\color{red}f(x)} - d} \Bigg)^{-1} = \Big( g\big({\color{red}f(x)}\big) \Big)^{-1},\end{equation*} kde \begin{equation*} g(x) = \frac{f^{-1}(x) - f^{-1}(d)}{x - d}, \quad \text{pro} \ x \in f(J), \ x\neq d.\end{equation*} Podle předpokladu je ale \begin{equation*} \lim_{x \to d} g(x) = \big(f^{-1}\big)'(d)\end{equation*} konečná nenulová, \(\displaystyle\lim_{x\to c} f(x) = d\) a \(f(x) \neq d\) pro \(x\neq c\). Podle věty č. 5.23 o limitě složené funkce pak tedy \begin{equation*} \lim_{x\to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \frac{1}{\big(f^{-1}\big)'(d)}.\end{equation*}
\(\square\)Vzorec pro derivaci inverzní funkce uvedený v předchozí větě může být problematické si zapamatovat. Ukažme si jednoduchý formální trik jak si ho případně odvodit. Funkce \(f\) a její inverze formálně splňuje rovnici \begin{equation*} f^{-1}\big( f(x) \big) = x.\end{equation*} Zderivujeme-li obě strany této rovnosti podle \(x\) a využijeme-li '>větu o derivaci složené funkce dostanem \begin{equation*} (f^{-1})'\big(f(x)\big) \cdot f'(x) = 1\end{equation*} odkud ihned plyne (6.2). Upozorněme čtenáře, že tato poznámka není důkazem věty o derivaci inverzní funkce. Vůbec jsme například neověřili existenci hledané derivace!
Již víme, že derivace \(\ln\) je funkce \(\frac{1}{x}\). Funkce \(\ln\) je ale inverzní funkce k funkci \(e^x\). Zkusme si na tomto příkladě ukázat použití předcházející věty. Chceme derivovat \(f(x) = \ln(x)\) na intervalu \(I=(0,+\infty)\). Tato funkce je spojitá, ryze monotónní a její inverzní funkcí je \(f^{-1}(x) = e^x\). Je-li \(x\in I\), pak pro derivaci \(f^{-1}\) v bodě \(f(x)\) platí \begin{equation*} \big(f^{-1}\big)'\big(f(x)\big) = e^{\ln(x)} = x \in I.\end{equation*} Podle předcházející
'>věty o derivaci inverzní funkce tedy je \begin{equation*} \ln'(x) = f'(x) = \frac{1}{\big(f^{-1}\big)'(f(x))} = \frac{1}{x},\end{equation*} což jsme očekávali.Pro derivaci funkce \(\arcsin\) platí \begin{equation*} \arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x\in(-1,1).\end{equation*} Funkce \(f = \arcsin\) je inverzní funkcí k funkci \(\sin\) zúžené na interval \(\left\langle-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle\). Tj. \(f^{-1} = \sin \big|_{\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\rangle}\). Pro každé \(x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) již víme, že platí \begin{equation*} \big( f^{-1} \big)'(x) = \cos x \neq 0.\end{equation*} Podle
'>věty o derivaci inverzní funkce máme pro každé \(x \in (-1,1)\) rovnost \begin{equation*} \arcsin'(x) = f'(x) = \frac{1}{(f^{-1})'(f(x))} = \frac{1}{\cos(\arcsin(x))}.\end{equation*} Pro \(x\in(-1,1)\) je ale \begin{equation*} \cos\big(\arcsin(x)\big) = \sqrt{1-\sin^2\big(\arcsin(x)\big)} = \sqrt{1-x^2} \neq 0,\end{equation*} a tudíž \begin{equation*} \arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x\in(-1,1).\end{equation*}Pro derivaci funkce \(\arctg\) platí \begin{equation*} \arctg'(x) = \frac{1}{1+x^2}, \quad x\in\mathbb{R}.\end{equation*} Chceme derivovat \(f = \arctg\) na \(I = \mathbb{R}\), kde je spojitá a ryze monotónní. Její inverzní funkce je \(f^{-1} = \tg \big|_{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}\). Pro každé \(x\in I\) platí \begin{equation*} \big(f^{-1}\big)'\big(f(x)\big) = \tg'\big(\arctg(x)\big) = \frac{1}{\cos^2 \big( \arctg(x)\big)} \neq 0,\end{equation*} protože \(\arctg(x) \in \Big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big)\). Navíc je \begin{equation*} \cos^2\big(\arctg x\big) = \frac{\cos^2\big(\arctg x\big)}{\sin^2\big(\arctg x\big)+\cos^2\big(\arctg x\big)} = \frac{1}{1+\tg^2\big(\arctg x\big)} = \frac{1}{1+x^2}.\end{equation*} Odtud \begin{equation*} \arctg'(x) = \frac{1}{1+x^2}, \quad x\in\mathbb{R}.\end{equation*}
Velmi podobným způsobem bychom odvodili derivace zbývajících funkcí \(\arccos\) a \(\arcctg\). Jejich derivace budou uvedeny níže v přehledné tabulce.