Jenom malá část elementárních funkcí má primitivní funkci, která by byla elementární. Víme jen, že primitivní funkcí k funkci \(f\) na intervalu \((a,b)\).
'>primitivní funkce existuje, ale nelze ji vyjádřit pomocí konečně mnoha operací (součet, součin, podíl, skládání a invertování) z elementárních funkcí. Jako příklad uveďme36 \begin{equation*} \int e^{-x^2} \,\mathrm{d}x, \quad \int \frac{\sin(x)}{x} \,\mathrm{d}x, \quad \int \frac{1}{\ln(x)} \,\mathrm{d}x.\end{equation*} Důkaz tohoto tvrzení v této přednášce nebude podán. Uvidíme však, jak vyjádřit a použít libovolnou primitivní funkci.Rozpoznat, kdy funkce má „rozumnou“ primitivní funkci, je často složité. Obecný návod „jak integrovat“ lze dát například v případě racionálních funkcí a funkcí které lze na racionální vhodnou substitucí převést.
Integrace, na rozdíl od rutinního derivování, vyžaduje cvik a zkušenost. Stará anekdota praví, že „derivování je jako mačkat pastu z tuby a integrování je naopak jako cpaní pasty zpět do tuby“. U školních příkladů lze ale vždy pomocí rutinního derivování ověřit, zda jsme ve výpočtu neudělali chybu!
Vypočtěte \(\displaystyle\int xe^{x^2}\mathrm{d}x\) a výsledek ověřte. Pomocí substituce \(y = x^2\), \begin{equation*} \int x e^{x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int e^{y} \mathrm{d}y = \frac{1}{2} e^y + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C.\end{equation*} Ověření, \begin{equation*} \bigg( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \bigg)' =\frac{1}{2} \Big( e^{x^2} \Big)' +0 = \frac{1}{2}\cdot 2x e^{x^2} = xe^{x^2}.\end{equation*}