Základy matematické analýzy

V předchozí kapitole jsme v definici č. 2.8 zavedli rozšířenou reálnou osu, \(\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{+\infty,\,-\infty\}\). Nyní mezi prvky množiny \(\overline{\mathbb{R}}\) rozšíříme binární operace sčítání a násobení.

Nejprve ale připomeňme jak přirozeným způsobem na \(\overline{\mathbb{R}}\) rozšiřujeme relaci uspořádání. Konkrétně klademe \begin{align*} -\infty &< a \quad \text{pro každé} \ a\in\mathbb{R}\cup \{+\infty\}, \\ a &< +\infty \quad \text{pro každé} \ a\in\mathbb{R}\cup \{-\infty\}.\end{align*} Na této definici asi není nic překvapivého, bereme ji jako samozřejmou. Nyní se věnujme algebraickým operacím. Zde je situace jen mírně komplikovanější.

Definice 3.29

Nechť \(a\in\overline{\mathbb{R}}\). V závislosti na jeho hodnotě definujeme

\(a > -\infty\): \(a+(+\infty)=(+\infty)+a=+\infty\),
\(a < +\infty\): \(a+(-\infty)=(-\infty)+a=-\infty\),
\(a > 0\): \(a\cdot(+\infty)=(+\infty)\cdot a=+\infty\),
\(a < 0\): \(a\cdot(+\infty)=(+\infty)\cdot a=-\infty\),
\(a > 0\): \(a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a=-\infty\),
\(a < 0\): \(a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a=+\infty\).
\(\frac{1}{+\infty} = \frac{1}{-\infty} = 0\).

Rozdíl definujeme vztahem \(a-b \ceq a+(-b)\), podíl \(\frac{a}{b} \ceq a\cdot\frac{1}{b}\), pouze v případě, že výraz na pravé straně je definován. Klademe \(-(+\infty) = -\infty\), \(-(-\infty)=+\infty\), \(|+\infty| = |-\infty| = +\infty\) a \(\sqrt[k]{+\infty}=+\infty\) pro libovolné \(k\in\mathbb{N}\).

Nedefinovány tedy zůstávají výrazy \begin{align*} +\infty - (+\infty), \quad -\infty - (-\infty), \quad -\infty + (+\infty), \quad +\infty + (-\infty) \\ 0\cdot(\pm\infty), \quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty}, \quad \frac{a}{0} \quad \text{pro} \ a\in\overline{\mathbb{R}}.\end{align*} Oproti tomu například výraz, kde se vyskytují dvě nekonečna, \(+\infty-(-\infty)\) je dobře definovaný a jeho hodnota je dle výše uvedené definice rovna \(+\infty\).

Příklad 3.30

Platí tedy například \(+\infty - 2 = +\infty\), \(4 \cdot (-\infty) = -\infty\), \(\frac{2}{+\infty} = 0\) a podobně. Výrazy \(\frac{4}{0}\), \(+\infty - (+\infty)\), či \(0 \cdot (+\infty)\) nejsou definovány. Jak uvidíme, nelze jim dát dobrý obecný smysl.