Posloupnost \(\big(\sin(5)\big)_{n=1}^\infty\) je konstantní, každý její člen je roven číslu \(\sin(5)\). Naproti tomu posloupnost \((n)_{n=1}^\infty\) není konstantní, její první člen je roven číslu \(1\) a druhý číslu \(2\), třetí člen je roven číslu \(3\), atd.

Rozmysleme si následující jednoduché tvrzení: posloupnost je konstantní, právě když je současně rostoucí i klesající. Tvrzení má formu ekvivalence. K jeho důkazu proto dokážeme obě implikace. Důkaz \(\Rightarrow\): Předpokládejme, že máme konstantní posloupnost \(a_n = c\), \(n\in\mathbb{N}\), kde \(c\) je reálná konstanta. Potom jistě platí \(a_{n+1} = c \geq c = a_n\) pro každé \(n\in\mathbb{N}\). Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) je proto dle definice č. 3.3 rostoucí. Stejný argument ukazuje, že se jedná i o klesající posloupnost. Důkaz \(\Leftarrow\): Naopak nyní předpokládejme, že máme posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\), která je rostoucí i klesající zároveň. Dle definice č. 3.3 tedy platí nerovnosti \(a_n \geq a_{n+1} \geq a_n\) pro každé \(n\in\mathbb{N}\). To je možné pouze v případě, že platí \(a_n = a_{n+1}\) pro každé \(n\in\mathbb{N}\). Jinak řečeno, \(a_n = a_1\) pro každé \(n\in\mathbb{N}\) a posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) je tedy konstantní. Číslo \(a_1\) hraji roli konstanty \(c\) v definici konstantní posloupnosti.

Uvažme posloupnost \(a_n = (n+1)^2 - n^2\), \(n\in\mathbb{N}\). V prvním případě je vhodné výraz nejprve lehce upravit, \begin{equation*} a_n = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1, \quad n\in\mathbb{N}.\end{equation*} Tato posloupnost je dokonce ostře rostoucí, protože \begin{equation*} a_{n+1} = 2(n+1) + 1 = 2n + 1 + 2 > 2n + 1 = a_n, \quad n\in\mathbb{N}.\end{equation*}

Uvažme následující posloupnost: pro zadané \(n\in\mathbb{N}\) nechť \(b_n\) označuje největší faktor v prvočíselném rozkladu čísla \(n\). Rozmysleme si nejprve definici posloupnosti \((b_n)_{n=1}^\infty\) prozkoumáním prvních několika členů: \begin{align*} 1 = 1 &\Rightarrow b_1 = 1, \\ 2 = 2 &\Rightarrow b_2 = 2, \\ 3 = 3 &\Rightarrow b_3 = 3, \\ 4 = 2\cdot 2 &\Rightarrow b_4 = 2.\end{align*} Vidíme, že \(b_1 < b_2\), ale \(b_3 > b_4\). Proto nemůže platit ani jedna z podmínek v definici č. 3.3. Uvedená posloupnost proto není (ostře) rostoucí ani (ostře) klesající.

Uvažme posloupnost \(c_n = n^2 - n\), \(n\in\mathbb{N}\). Prvních několik členů má hodnotu \begin{equation*} c_1 = 0, \quad c_2 = 2, \quad c_3 = 6, \quad c_4 = 12.\end{equation*} „Zdá se“, že posloupnost bude ostře rostoucí. To ale nemůžeme tvrdit na základě porovnání jejích prvních čtyř členů! Srovnejte to se situací v předchozím příkladě, kde jsme růst/klesání vyvraceli. Nyní ho chceme prokázat, musíme proto ověřit platnost nerovnosti \(a_n < a_{n+1}\) pro všechna \(n\in\mathbb{N}\). Tato nerovnost je v našem konkrétním případě ekvivalentní nerovnosti \begin{equation*} n^2 - n < (n+1)^2 - (n + 1), \quad n\in\mathbb{N}.\end{equation*} Po jednoduchých ekvivalentních úpravách získáváme nerovnost \begin{equation*} 0 < 2n, \quad n\in\mathbb{N},\end{equation*} která je očividně pravdivá (dvojnásobek libovolného přirozeného čísla je jistě kladný). Posloupnost \((c_n)_{n=1}^\infty\) je proto ostře rostoucí.

Aritmetická posloupnost je definována rekurentním vztahem \(a_{n+1} = a_n + d\), kde parametr \(d \in \mathbb R\) se nazývá diference. Aby tento rekurentní vztah jednoznačně zadával posloupnost je nutné zafixovat první člen \(a_1\). Je-li dán první člen \(a_1\) pak očividně¹⁸ platí \begin{equation*} a_n = a_1 +(n-1)d\,,\quad n = 1,2,3,\ldots\end{equation*} Aritmetická posloupnost je ostře rostoucí pokud \(d > 0\), ostře klesající pokud \(d < 0\) a konstantní pokud \(d = 0\).

Geometrická posloupnost je dána rekurentním vztahem \begin{equation*} a_{n+1} = a_n \cdot q, \quad n = 1,2,3,\ldots\end{equation*} kde parametr \(q\neq 0,1\) se nazývá kvocient. Je-li dán první člen \(a_1\), pak je \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\). Snadno nahlédneme, že geometrická posloupnost je ostře rostoucí pokud \(a_1 >0\), \(q > 1\) nebo \(a_1 < 0\), \(0 < q < 1\) a ostře klesající pokud \(a_1 > 0\), \(0 < q < 1\) nebo \(a_1 < 0\), \(q > 1\).