Platí \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1.\end{equation*} Položme \(h_n \ceq \sqrt[n]{n} - 1\). Z jedné strany platí \(h_n \geq 0\) pro každé \(n=1,2,3,\ldots\) Z binomické věty dostaneme pro \(n \geq 2\) \begin{equation*} n = (1+h_n)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} h_n^k \href{Součet tří a více kladných čísel je větší než součet libovolných dvou z nich.}{\class{mathpopup}{>}} 1 + \binom{n}{2} h_n^2,\end{equation*} a tedy pro \(n \geq 2\) platí \begin{equation*} n - 1 > \frac{n(n-1)}{2} h_n^2.\end{equation*} Pro \(n \geq 2\) je výraz \(\frac{n(n-1)}{2}\) kladný a můžeme jím proto poslední nerovnost vydělit a díky nezápornosti \(h_n\) poté i odmocnit. Po těchto úpravách dostáváme \begin{equation*} 0 \leq h_n \leq \sqrt{\frac{2}{n}}.\end{equation*} Odtud ihned pomocí věty o sevřené posloupnosti dostáváme \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} h_n = 0\). Graf této posloupnosti je pro názornost uveden na obrázku č. 3.8.

Pro každé \(a\in\mathbb{R}\), \(a > 0\), je \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1.\end{equation*} Případ \(a \geq 1\): Pro každé celé \(n > a\) platí \begin{equation*} 1 \leq \sqrt[n]{a} \leq \sqrt[n]{n}.\end{equation*} V předchozím příkladě jsme však ukázali rovnost \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1\). Tudíž podle věty o sevřené posloupnosti \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1\). Případ \(0 < a < 1\): Z předchozí bodu plyne \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = 1\), tudíž \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{a}}} = 1.\end{equation*} Pro ilustraci uvádíme obrázek č. 3.9.

Platí \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!} = + \infty.\end{equation*} Při výpočtu této limity využijeme následující trik. Členy v součinu dvou faktoriálů promícháme v „zrcadlovém“ pořadí: \begin{align*} (n!)^2 &= (1\cdot 2\cdot 3\cdots n) \cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdots n ) \\ &= \big(1 \cdot n\big) \cdot \big(2 \cdot (n-1) \big) \cdot \big( 3 \cdot (n-2) \big) \cdots \big( n \cdot 1\big) = \\ &= \prod_{k=1}^n k (n+1 -k)\end{align*} Z grafu paraboly \(f(x) = x(n+1-x)\) je zřejmé (viz obrázek č. 3.10), že \begin{equation*} f(k) \geq f(1) = f(n) = n, \quad k\in\{1,2,\ldots,n\},\end{equation*} a proto \((n!)^2 \geq n^n\). Konečně, \(2n\)-tá odmocnina dává \begin{equation*} \sqrt[n]{n!} \geq \sqrt{n} \longrightarrow +\infty.\end{equation*}

Nechť \(a\in\mathbb{R}\). Pak pro limitu reálné posloupnosti \((a^n)_{n=1}^\infty\) platí: \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a^n = \begin{cases} 0, & |a| < 1, \\ 1, & a = 1, \\ +\infty, & a > 1, \\ \text{neexistuje}, & a \leq -1. \end{cases}\end{equation*} Jednoduché případy: Pokud \(a=0\) nebo \(a=1\), pak se jedná o konstantní posloupnost jejíž limita je rovna příslušné konstantě. Pro \(a=-1\) jsme již ukázali, že limita \(\big((-1)^n\big)_{n=1}^\infty\) neexistuje. Nechť \(0 < |a| < 1\). Platí \begin{equation*} \big|a^{n+1}\big| = \big|a^n\big| \cdot |a| < \big| a^n \big|.\end{equation*} Posloupnost \(\Big( \big| a^n \big| \Big)_{n=1}^\infty\) je tedy ostře klesající a omezená, \(0 < \big| a^n \big| < |a|\). Z věty o limitě monotónní posloupnosti plyne existence konečné limity, označme ji \(\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \big| a^n \big|\). Posloupnost \(\Big(\big| a^{n+1} \big|\Big)_{n=1}^\infty\) je vybraná z \(\Big(\big| a^n \big|\Big)_{n=1}^\infty\) a proto mají stejnou limitu. Konečně \begin{equation*} L = \lim_{n\to\infty} \big| a^{n+1} \big| = \lim_{n\to\infty} |a|\cdot\big| a^n \big| = |a| \cdot \lim_{n\to\infty} \big| a^n \big| = |a| \cdot L.\end{equation*} Díky předpokladům nakladeným na \(a\) odtud nutně plyne rovnost \(L=0\). Případ \(a > 1\): Podobně jako v předchozím případě ukážeme, že \(\big(a^n\big)_{n=1}^\infty\) je ostře rostoucí posloupnost zdola omezená např. číslem \(1\). Existuje proto limita \(\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} a^n\). Protože posloupnost roste, musí nutně být \(L > a\). Navíc platí \begin{equation*} L = \lim_{n\to\infty} a^{n+1} = a \cdot \lim_{n\to\infty} a^n = a \cdot L.\end{equation*} Protože ale \(L > a > 1\) může tato nerovnost platit pouze v případě \(L = +\infty\). Případ \(a < -1\): Pro vybranou posloupnost \(\big( a^{2n} \big)_{n=1}^\infty = \Big( \big(a^2\big)^n \Big)_{n=1}^\infty\) nyní podle předchozího bodu platí \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a^{2n} = +\infty\), protože \(a^2 > 1\). Limitu vybrané posloupnosti \(\big( a^{2n+1} \big))_{n=1}^\infty\) snadno spočteme \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a^{2n+1} = a \cdot \lim_{n\to\infty} a^{2n} = a \cdot (+ \infty) = -\infty.\end{equation*} Našli jsme dvě vybrané posloupnosti s různými limitami. Původní limita, tj. \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a^n\), tedy neexistuje.