Pomocí exponenciální a logaritmické funkce zavedené v předchozí sekci nyní definujeme obecnou mocninu (definice č. 4.28). Jinak řečeno, cílem této sekce je dát korektní význam symbolu \(a^x\), kde \(a > 0\) a \(x\in\mathbb{R}\).
Připomeňme, že pro \(a\in\mathbb{R}\) a kladné \(n\in\mathbb{N}\) definujeme
Symbol \(a^n\) má tedy dobrý smysl pro libovolné \(n\in\mathbb{Z}\) a nenulové \(a\in\mathbb{R}\). Čtenář jistě snadno nahlédne, že při uvedené definici platí rovnosti \begin{equation*} a^n \cdot a^m = a^{n+m} \quad \text{a} \quad \big(a^n)^m = a^{n\cdot m}\end{equation*} pro libovolná \(n,m\in\mathbb{N}_0\) a \(a \in \mathbb{R}\) (resp. \(n,m\in\mathbb{Z}\) a \(0 \neq a\)).
Nyní se zbavíme požadavku na celočíselnost exponentu. Klíčem k úspěchu je následující definice.
Pro \(a\in(0,+\infty)\) a \(x\in\mathbb{R}\) definujeme \begin{equation*} a^x \ceq e^{x\ln a}.\end{equation*}
Poznamenejme, že tato definice není v kolizi s dříve zavedenou exponenciální funkcí. Pro \(a=e\) totiž máme \begin{equation*} e^x = e^{x\ln e} = e^{x \cdot 1} = e^x.\end{equation*} Na levé straně symbol \(e^x\) chápeme jako obecnou mocninu a na pravé straně jako exponenciální funkci.
Pojďme si nyní rozmyslet, jaké vlastnosti má námi zavedená obecná mocnina a zda-li rozšiřuje celočíselnou mocninu zmíněnou na začátku této sekce.
Pro \(a,b > 0\) platí
Uvažme tedy \(a,b > 0\) a \(x,y \in \mathbb{R}\). Potom dle definice 4.28 platí \begin{equation*} a^{x+y} = e^{(x+y) \ln a} = e^{x\ln a + y \ln a} = e^{x\ln a} e^{y\ln a} = a^x a^y.\end{equation*} Podobně \begin{equation*} \big(a^{x}\big)^y = e^{y \ln a^x} = e^{y \ln e^{x\ln a}} = e^{yx\ln a} = a^{yx} = a^{xy}.\end{equation*} Na konec s využitím věty č. 4.27 \begin{equation*} (ab)^x = e^{x\ln(ab)} = e^{x (\ln a + \ln b)} = e^{x\ln a}e^{x\ln b} = a^x b^x.\end{equation*}
\(\square\)Obdobně jako u exponenciální funkce se můžeme na obecnou mocninu dívat jako na funkci \(x \mapsto a^x\). V tomto případě její vlastnosti závisí na konkrétní hodnotě \(a\).
Funkce definovaná předpisem \(a^x\) je:
Pokud je \(a=1\), pak \(a^x = e^{x\ln a} = e^{x\ln 1} = e^0 = 1\). Uvažme \(a > 1\). Z definice logaritmu víme, že \(\ln a > 0\). Je-li \(x < y\) pak \(x \ln a < y \ln a\) a růst exponenciální funkce implikuje \begin{equation*} a^x = e^{x\ln a} < e^{y\ln a} = a^y.\end{equation*} Zbývající případ \(0 < a < 1\) lze vyšetřit analogicky. Pokud \(a = 1\) pak je oborem hodnot množina \(\{1\}\). V ostatních případech má \(a^x\) stejný obor hodnot jako exponenciála, tedy \((0,+\infty)\).
\(\square\)Funkce \(a^x\) je tedy pro \(0 < a \neq 1\) ryze monotonní a tudíž prostá. Její inverzní funkci nazýváme logaritmem o základu \(a\) a značíme \(\log_a\).
Pro každé \(a, x > 0\) dostáváme \begin{equation*} e^{\log_a x} = e^{\log_a x \cdot \frac{\ln a}{\ln a}} = e^{\big(\log_a x \cdot \ln a\big)\frac{1}{\ln a}} = \Big(a^{\log_a x}\Big)^{\frac{1}{\ln a}} = x^{\frac{1}{\ln a}} = e^{\frac{\ln x}{\ln a}}.\end{equation*} Z prostoty exponenciální funkce tudíž dostáváme \(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\). Z tohoto vztahu již plynou všechny ostatní notoricky známé vlastnosti logaritmu. Podobný způsobem (viz cvičení) lze dokázat známou rovnost \begin{equation*} \log_a b^x = x \log_a b\end{equation*} platnou pro libovolné \(0 < a \neq 1\), \(b>0\) a \(x\in\mathbb{R}\).