6.7 Extrémy funkce
Řada praktických problémů může být formulována jako optimalizační (minimalizační či maximalizační) úloha. Ve své nejjednodušší podobě zní následovně: různé „případy“ jsou očíslovány parametrem \(x\) a hledáme takové řešení, které minimalizuje/maximalizuje jistou funkci \(f(x)\) (např. zisk). Uveďme několik jednoduchých příkladů.
- Jak distribuovat objednané zboží mezi zákazníky co nejefektivněji, tj. s co nejmenšími náklady na dopravu?
- Jak sestavit jídelníček splňující zadané dietologické podmínky a minimalizovat při tom náklady?
- Jak efektivně distribuovat pohonné hmoty a materiál na frontu a současně maximalizovat protivníkovy ztráty?
Zde v BI-ZMA se při hledání maxim a minim omezíme na reálné funkce reálné proměnné. Samozřejmě v realitě je často zapotřebí uvažovat ne jen jednu proměnnou \(x\), ale dvě a nebo více. Řešením těchto otázek se zabývá teorie funkce více proměnných, resp. teorie optimalizace. Řada zde zaváděných konceptů se ovšem dále používá i v případě funkcí více proměnných a pro čtenáře je snazší se s nimi v tomto snadno představitelném světě funkcí jedné proměnné seznámit.
Započněme výklad této problematiky přesným zavedením pojmů minima a maxima funkce.
Definice 6.33
Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(a\in D_f\)
- lokální maximum
- lokální minimum
- ostré lokální maximum
- ostré lokální minimum
- pro všechna \(x\in H_a\) platí \(f(x) \leq f(a)\),
- pro všechna \(x\in H_a\) platí \(f(x) \geq f(a)\),
- pro všechna \(x\in H_a\smallsetminus\{a\}\) platí \(f(x) < f(a)\),
- pro všechna \(x\in H_a\smallsetminus\{a\}\) platí \(f(x) > f(a)\).
Lokální maximum a lokální minimum společně nazýváme lokální extrém. Následující věta dává nutnou podmínku pro existenci lokálního extrému. Pro lepší představu a orientaci mezi těmito typy extrémů uvádíme obrázek 6.6.
Obrázek 6.6: K definici různých typů extrémů.
Nyní se můžeme snažit odpovědět na otázku, jak extrémy funkcí hledat. První výsledek je negativního charakteru, říká nám kde zcela jistě extrémy funkce nenastávají. Můžeme se pak soustředit na prozkoumávání bodů, kde extrémy být mohou.
Věta 6.34 (Nutná podmínka existence lokálního extrému)
Nechť funkce \(f\) má v bodě \(a\) lokální extrém. Potom \(f'(a) = 0\), nebo derivace v bodě \(a\) neexistuje.
Kdyby např. \(f'(a) = \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} > 0\), potom lze nalézt \(\veps>0\) tak, že pro všechna \(x\in(a-\veps, \ a+\veps) \smallsetminus\{a\}\) platí \begin{equation*} \displaystyle \frac{f(x) - f(a)}{x-a} > 0.\end{equation*} Potom ale platí \(f(x) > f(a)\) pro \(x\in(a,\ a+\veps)\) a \(f(x) < f(a)\) pro \(x\in(a-\veps,a)\). Funkce \(f\) tedy v bodě \(a\) nemá lokální extrém. Podobně lze postupovat v případě \(f'(a) < 0\).
\(\square\)Tato věta udává pouze nutnou podmínku pro existenci lokálního extrému. Zdůrazněme tento fakt pomocí následujících příkladů.
Příklad 6.35 (Extrém v bodě s neexistující derivací)
Uvažme funkci \(f(x) \ceq |x|\). Funkce \(f\) má jistě ostré lokální minimum v bodě \(0\) (to vidíme přímo z definice ostrého lokálního minima: pro všechna nenulová reálná \(x\) platí \(|x| > 0\) a \(0 = 0\)), ale její derivace v bodě \(0\) neexistuje (vypočteno v předchozí části textu).
Příklad 6.36 (Bod nulové derivace bez extrému)
Funkce \(f(x) \ceq x^3\) má v bodě \(0\) nulovou derivaci, \(f'(0) = 0\), avšak nenabývá v něm lokálního extrému (opět viz definici: pro kladné reálné \(x\) platí \(x^3 > 0\) a pro záporné reálné \(x\) platí \(x^3 < 0\)). Je dokonce rostoucí na celém \(\mathbb{R}\). Jinak řečeno, k tomu aby funkce v bodě \(a\) měla extrém nestačí aby \(f'(a) = 0\). Tento omyl je častým zdrojem chyb.
Grafy funkcí z předchozích dvou příkladů jsou uvedeny na obrázku 6.7.
Obrázek 6.7: Graf absolutní hodnoty (v bodě \(0\), kde neexistuje derivace, nabývá minima) a funkce \(x^3\) (v bodě \(0\) sice má nulovou derivaci, ale v tomto bodě nenabývá extrému).
Obecně ani nevíme, jestli daná funkce vůbec extrém má. Jedná-li se ale o funkci spojitou na uzavřeném intervalu, pak je existence extrémů zaručena následující větou.
Věta 6.37 (Extrém spojité funkce na uzavřeném intervalu)
Funkce \(f\) spojitá a definovaná právě na uzavřeném intervalu \(\langle a,b \rangle\) nabývá maxima a minima, přesněji existují \(\alpha,\beta\in\langle a,b \rangle\) splňující \(f(\alpha) = \max_{\langle a,b \rangle} f\) a \(f(\beta) = \min_{\langle a,b \rangle}\). Extrém může být nabyt pouze v krajních32 bodech \(a,b\) a v bodech kde je derivace rovna \(0\) nebo neexistuje.
Již víme, že je-li \(f\) spojitá, pak obrazem uzavřeného intervalu \(J = \langle a,b \rangle\) je opět uzavřený interval \(f(J)\) (nebo jednoprvková množina, v tom případě je situace triviální). Vzpomeňte na větu 5.45. Krajní body tohoto intervalu \(f(J)\) pak jsou příslušným maximem, resp. minimem, dané funkce na intervalu \(J\).
\(\square\)Tuto větu lze s výhodou použít, hledáme-li pouze největší a nejmenší hodnotu spojité funkce \(f\) na uzavřeném intervalu \(J\) a nezajímají nás další detaily o průběhu funkce \(f\). Stačí pouze porovnat funkční hodnoty v bodech podezřelých z extrému, tedy bodech kde je derivace funkce \(f\) nulová nebo neexistuje, nebo v krajních bodech intervalu na kterém extrémy funkce zkoumáme.
Příklad 6.38
Jako příklad uvažme funkci \begin{equation*} f(x) = (x-1)(x-2)\end{equation*} na intervalu \(\langle 0,2 \rangle\). Derivace je nulová v bodě \(\frac{3}{2}\), porovnáním funkčních hodnot \begin{equation*} f(0) = 2, \quad f\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{1}{4}, \quad f(2) = 0\end{equation*} uzavíráme že globální maximum je v bodě \(0\) s hodnotou \(2\) a globální minimum je v bodě \(\frac{3}{2}\) s hodnotou \(-\frac{1}{4}\). Graf uvažované funkce je na obrázku 6.8. Povšimněte si ale, že jsme extrémní hodnoty nalezli bez jakékoliv grafické představy (kterou často nemáme k dispozici), využili jsme pouze spojitost dané funkce a uzařenost zadaného intervalu!
Obrázek 6.8: Ukázka globálních extrémů spojité funkce na uzavřeném intervalu.
Příklad 6.39
Z papíru tvaru obdélníka se stranami \(8\) cm a \(3\) cm vyrobíme krabičku tak, že vystřihneme ze všech čtyř rohů stejné čtverce. Krabička bude mít výšku rovnou straně tohoto čtverce. Viz obrázek 6.9. Nalezněte délku strany čtverce, při níž bude objem krabičky největší. Označme stranu vystřihnutých čtverců symbolem \(x\). Pro objem krabičky \(O(x)\) platí \begin{equation*} O(x) = x(8-2x)(3-2x) = 4x^3 - 22x^2 + 24x,\end{equation*} kde \(x\in\langle 0,\frac{3}{2}\rangle\). Derivace \(O(x)\) je nula pouze v bodech \(3\) a \(\frac{2}{3}\), ovšem pouze \(\frac{2}{3} \in \langle 0,\frac{3}{2}\rangle\). V tomto bodě nastává i maximum \(O(\frac{2}{3}) = \frac{200}{27}\,\mathrm{cm}^3\), protože \(O(0) = O(\frac{3}{2}) = 0\).
Obrázek 6.9: Konstrukce krabičky z papíru tvaru obdélníka.
Na závěr této podkapitoly ještě poznamenejme, že uzavřenost intervalu v předchozí větě č. 6.37 je podstatná. Jako příklad uvažme funkci \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-4}\end{equation*} spojitou na otevřeném intervalu \(J = (0,4)\). Tato funkce nemá na \(J\) ani maximum ani minimum. Skutečně, platí totiž \begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{x\to 0_+} f(x) &= +\infty - \frac{1}{4} = +\infty, \\ \lim_{x\to 4_-} f(x) &= \frac{1}{4} + (-\infty) = -\infty. \end{aligned}\end{equation*} Graf této funkce je uveden na obrázku 6.10.
Obrázek 6.10: Funkce spojitá na otevřeném intervalu nemusí mít minimum ani maximum.