9.2 Vlastnosti Riemannova integrálu
V dalším textu se pro jednoduchost omezíme na spojité omezené funkce, pro něž Riemannův integrál existuje. Následující vlastnosti lze odvodit přímo z definice Riemannova integrálu (resp. pomocí integrálních součtů a normálních posloupností dělení). První dvě věty velmi zjednodušují praktické výpočty.
Věta 9.11 (Aditivita integrálu)
Nechť \(f\) a \(g\) jsou spojité funkce na intervalu \(\langle a,b \rangle\). Potom pro Riemannův integrál funkce \(f+g\) (která je také automaticky spojitá na \(\langle a,b \rangle\)) platí \begin{equation*} \int_a^b (f+g)(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.\end{equation*}
Věta 9.12 (Multiplikativita integrálu)
Nechť \(f\) je spojitá na intervalu \(\langle a,b \rangle\) a \(c\in\mathbb{R}\) je konstanta. Potom pro Riemannův integrál funkce \(cf\) platí \begin{equation*} \int_a^b (cf)(x)\,\mathrm{d}x = c \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\end{equation*}
Předchozí dvě věty často vyjadřujeme konstatováním, že Riemannův (určitý) integrál je lineární. Riemannův integrál je aditivní i vůči mezím, platí totiž:
Věta 9.13 (Aditivita integrálu v mezích)
Riemannův integrál funkce \(f\) na intervalu \(\langle a, b \rangle\) existuje, právě když pro každé \(c \in (a,b)\) existují Riemannovy integrály funkce \(f\) na intervalech \(\langle a, c \rangle\) a \(\langle c, b \rangle\). V takovém případě navíc platí \begin{equation*} \int_a^b f(x)\,\dx = \int_a^c f(x)\,\dx + \int_c^b f(x)\,\dx.\end{equation*}
Konečně z nerovností mezi funkcemi lze usuzovat na nerovnost mezi jejich určitými integrály. Tuto vlastnost lze často využít při odhadování integrálů (např. při výpočtu rychlosti růstu, k této problematice se dostaneme později).
Věta 9.14 (Nerovnosti mezi integrály)
Nechť jsou \(f\) a \(g\) spojité funkce na intervalu \(\langle a,b \rangle\) a nechť platí nerovnost \(f(x) \leq g(x)\) pro všechna \(x\in\langle a,b \rangle\). Potom pro jejich Riemannovy integrály platí \begin{equation*} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.\end{equation*}
Následující věta odhaluje vztah mezi určitým (Riemannovým) a neurčitým (primitivní funkce) integrálem. Umožňuje nám počítat Riemannův integrál bez explicitního použití limitní definice.
Věta 9.15 (Newtonova formule)
Nechť \(f\) je funkce spojitá na intervalu \(\langle a,b \rangle\) s primitivní funkcí \(F\). Pak platí rovnost \begin{equation*} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) =: \Big[ F(x) \Big]_a^b.\end{equation*}
Uvažme \(\sigma = \{ x_0,x_1,\ldots,x_n \}\) dělení intervalu \(\langle a,b \rangle\). Použijeme Lagrangeovu větu (věta č. 6.41) o přírůstku funkce na funkci \(F\) a intervaly \(\langle x_{i-1},x_i \rangle\) postupně pro \(i=1,2,\ldots,n\), \begin{equation*} \begin{aligned} F(b) - F(a) &= \sum_{i=1}^n \Big( F(x_i) - F(x_{i-1}) \Big) = \sum_{i=1}^n F'(\alpha_i) (x_i - x_{i-1}) = \\ &= \sum_{i=1}^n f(\alpha_i) \Delta_i, \end{aligned}\end{equation*} kde \(\alpha_i \in (x_{i-1},x_i)\), \(i=1,2,\ldots,n\). Takže \begin{equation*} F(b) - F(a) = \mathcal{J}(\sigma,f).\end{equation*} Uvážíme-li nyní libovolnou normální posloupnost dělení \((\sigma_n)\) pak \begin{equation*} F(b) - F(a) = \lim_{n\to\infty} \mathcal{J}(\sigma_n,f) = \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x.\end{equation*}
\(\square\)Příklad 9.16
Pro \(a < b\) vypočtěte integrál \begin{equation*} \int_a^b e^x \,\mathrm{d}x.\end{equation*} Primitivní funkcí k \(e^x\) je funkce \(e^x\). Pak \begin{equation*} \int_a^b e^x \,\mathrm{d}x = \Big[ e^x \Big]_a^b = e^b - e^a.\end{equation*} Pro ilustraci viz obrázek 9.7.
Obrázek 9.7: Plocha pod grafem exponenciální funkce na intervalu \(\langle a,b \rangle\).
Příklad 9.17
Spočítejte integrál \begin{equation*} \int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x.\end{equation*} Primitivní funkcí k funkci \(\sin x\) je funkce \(-\cos x\). Proto \begin{equation*} \int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x = \Big[ - \cos x \Big]_0^{\pi} = - \cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2.\end{equation*} Plocha jednoho „hrbu“ grafu funkce \(\sin\) je tedy \(2\) (v daných jednotkách plochy). Pro ilustraci viz obrázek 9.8.
Obrázek 9.8: Plocha pod grafem funkce \(\sin\) na intervalu \((0,\pi)\).