Následující věty nám umožňují „kombinovat“ jednoduché limity do složitějších, jsou tedy velmi praktickým nástrojem pro výpočet limit. Její použití, které si za okamžik názorně ukážeme, většinou spočívá v úpravě výrazu do tvaru vhodných součtů, součinů a podílů, jejichž limity známe a dohromady dávají dobře definovaný výraz (ve smyslu předchozí podkapitoly č. 3.5).
Nechť \((a_n)_{n=1}^\infty\) a \((b_n)_{n=1}^\infty\) jsou reálné posloupnosti mající limitu v \(\overline{\mathbb{R}}\), označme je \(\displaystyle \alpha = \lim_{n\to\infty}a_n\) a \(\displaystyle \beta = \lim_{n\to\infty} b_n\). Potom platí \begin{align*} \lim_{n\to\infty}(a_n + b_n) &= \alpha + \beta, \\ \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) &= \alpha\cdot\beta, \\ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} &= \frac{\alpha}{\beta},\end{align*} pokud je výraz na pravé straně definován.
Všimněte si, že aby podíl \(\frac{\alpha}{\beta}\) byl definován, musí být \(\beta \neq 0\). Za chvilku uvidíme, že odtud plyne existence \(n_0\in\mathbb{N}\) takového, že \(b_n \neq 0\) pro \(n > n_0\). Má tedy smysl zkoumat limitu posloupnosti \((a_n/b_n)_{n=1}^\infty\).
Důkaz této věty je poněkud zdlouhavý, vzhledem k množství kombinací různých situací. Uveďme alespoň argument pro součet a konečné limity. Ostatní případy lze ošetřit podobně i když například podíl a součin vyžadují více práce.
Důkaz pro součet a konečné limity :
Předpokládejme, že \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\) potom lze pro \(\veps/2\) najít \(n_0\in\mathbb{N}\) takové, že pro \(n > n_0\) je \(|a_n - \alpha| < \veps/2\) a \(|b_n - \beta| < \veps/2\). Pro tato \(n\) pak máme i \begin{equation*} |a_n + b_n - \alpha - \beta| = |(a_n - \alpha) + (b_n - \beta)| \leq |a_n - \alpha| + |b_n - \beta| < \frac{\veps}{2} + \frac{\veps}{2} = \veps.\end{equation*} Podle definice tedy \(a_n + b_n \to \alpha + \beta\).
\(\square\)Všimněme si, že ve větě se existence limit \(\lim a_n\) a \(\lim b_n\) předpokládá. Opačná tvrzení obecně neplatí, například z existence limity \(\lim (a_n + b_n)\) neplyne existence limit \(\lim a_n\) a \(\lim b_n\). Jako příklad můžeme uvést následující jednoduchou volbu posloupností: \begin{equation*} a_n = (-1)^n \quad \text{a} \quad b_n = (-1)^{n+1}.\end{equation*} Protože \(a_n + b_n = 0\) platí pro každé \(n\), existuje limita součtu, ale limita původních posloupností neexistuje, jak jsme již ukázali dříve.
Uveďme dále jeden důležitý důsledek věty č. 3.31.
Buď \(c\in\mathbb{R}\) konstanta a \((a_n)_{n=1}^\infty\), \((b_n)_{n=1}^\infty\) posloupnosti s limitami v \(\overline{\mathbb{R}}\). Potom platí \begin{align*} \lim_{n\to\infty} c \,a_n &= c \cdot \lim_{n\to\infty} a_n, \\ \lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) &= \lim_{n\to\infty} a_n - \lim_{n\to\infty} b_n,\end{align*} pokud je výraz na pravé straně definován.
V případě prvního tvrzení důsledku stačí využít větu 3.31 a její tvrzení o součinu s posloupností \((a_n)_{n=1}^\infty\) a konstantní posloupností \(b_n = c\). K nahlédnutí druhého tvrzení si pak stačí uvědomit, že \(a_n - b_n = a_n + (-1) \cdot b_n\) a použít první část důsledku a větu 3.31 o součtu.
\(\square\)Ukažme si, jak lze předchozí věty použít při výpočtu jednoduchých příkladů.
Vypočtěte
Další věta nám ukazuje, jak se chová absolutní hodnota (viz rovnici č. (2.3)) vůči limitě posloupnosti.
Nechť \((a_n)_{n=1}^\infty\) je reálná posloupnost. Pak platí následující dvě tvrzení \begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha \quad &\Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty} |a_n| = |\alpha|, \\ \lim_{n\to\infty} a_n = 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to\infty}|a_n| = 0.\end{align*}
Dokažme nejprve první část. Pokud \(\alpha = \pm \infty\), pak je důkaz přímočarým použitím definice (rozmyslete!). Nejprve si rozmysleme následující pozorování o absolutní hodnotě. Pro libovolná \(x,y\in\mathbb{R}\) platí
Předchozí věta tedy říká, že můžeme beztrestně zaměňovat pořadí počítání limity posloupnosti a absolutní hodnoty. Samozřejmě za předpokladu existence limity posloupnosti v absolutní hodnotě. Například \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{1}{n} - 2 \right| = \left| \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{n} - 2 \right) \right| = |{-2}| = 2.\end{equation*}
Podobné tvrzení můžeme nyní odvodit i pro odmocniny.
Nechť \((a_n)_{n=1}^\infty\) je reálná posloupnost s nezápornými členy a nechť \(k\in\mathbb{N}\) je pevně dané číslo. Pak platí následující tvrzení \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha \in \mathbb{R}^+_0 \cup\{ +\infty \} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty} \sqrt[k]{a_n} = \sqrt[k]{\alpha}.\end{equation*}
Uvažme případ \(\alpha\in\mathbb{R}^+\). Podle předpokladů existuje konstanta \(c > 0\) tak, že \(c^k < a_n\) pro každé \(n\) a \(c^k < \alpha\). Dále si stačí povšimnout, že20 \begin{equation*} \big| \sqrt[k]{a_n} - \sqrt[k]{\alpha} \big| = \frac{|a_n - \alpha|}{a_n^{\frac{k-1}{k}} + a_n^{\frac{k-2}{k}} \alpha + \cdots + a_n \alpha_{}^{\frac{k-2}{k}} + \alpha_{}^{\frac{k-1}{k}}} \leq \frac{|a_n - \alpha|}{k \cdot c^{k-1}}.\end{equation*} Je-li tedy \(\veps > 0\) zadáno libovolně, pak lze podle předpokladů nalézt \(n_0\in\mathbb{N}\) tak, že \(|a_n - \alpha| < \veps k c^{k-1}\). Potom ale podle nerovnice výše je \begin{equation*} \big| \sqrt[k]{a_n} - \sqrt[k]{\alpha} \big| < \veps.\end{equation*} Uvažme případ \(\alpha = 0\). Buď \(\veps > 0\) libovolné. Pro \(\veps^k\) existuje \(n_0 \in \mathbb{N}\) tak, že pokud je \(n\) větší než \(n_0\) platí \(0 \leq a_n < \veps^k\). Pro tato \(n\) je pak ale i \(0 \leq \sqrt[k]{a_k} < \veps\). Čili \(\big(\sqrt[k]{a_n}\big)_{n=1}^\infty\) konverguje k \(0\). Případ \(\alpha=+\infty\) se vyšetří analogicky.
\(\square\)Vypočtěte limitu \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \Big(\sqrt{n^2+2n+5} - n \Big).\end{equation*} Všimněte si, že nelze použít větu o limitě součtu. Dostáváme nedefinovaný výraz \(+\infty - (+\infty)\). Skutečně, protože \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^2+2n+5 = +\infty\) pak podle předchozí věty (konkrétně věty č. 3.36 v níž volíme \(k=2\)) platí \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt{n^2+2n+5} = +\infty\). K výpočtu naší limity použijeme úpravu \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \Big(\sqrt{n^2+2n+5} - n\Big) = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2n+5 - n^2}{\sqrt{n^2+2n+5}+n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 + \frac{5}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}+1} \href{Teprve zde jsme použili větu o limitě součtu, součinu a podílu. Úpravy na levé straně jsou čistě algebraické.}{\class{mathpopup}{=}} 1.\end{equation*} Zde jsme v poslední kroku využili právě předchozí větu č. 3.36 následujícím způsobem: \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}} = \sqrt{\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2} \right)} = \sqrt{1+0+0} = 1.\end{equation*}