5.4 Definice a kriteria spojitosti
Jak již bylo řečeno, hodnota limity funkce v bodě \(a\in\mathbb{R}\) nezávisí na funkční hodnotě funkce \(f\) v tomto bodě (funkce v daném bodě ani nemusí být definována a přesto v něm může mít limitu). Zavádíme proto pojem spojité funkce, který spojuje pojem limity a funkční hodnoty. Funkce je spojitá v bodě \(a\in D_f\) právě tehdy, když její funkční hodnota v bodě \(a\) je rovna její limitě v bodě \(a\). Uvědomíme-li si, že bod \(a\) může být i na kraji definičního oboru funkce \(f\), dostáváme následující definici.
Definice 5.32
Nechť \(f\) je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod \(a\in D_f\). Řekneme, že funkce \(f\) je spojitá v bodě \(a\) jestliže nastává jedna z následujících možností
- \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a)\),
- funkce \(f\) je definována jen na pravém okolí bodu \(a\), přesněji \((\exists H_a)(H_a \cap D_f = H^+_a)\), a \(\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) = f(a)\),
- funkce \(f\) je definována jen na levém okolí bodu \(a\), přesněji \((\exists H_a)(H_a \cap D_f = H^-_a)\), a \(\displaystyle \lim_{x\to a-} f(x) = f(a)\).
Spojitost funkce je velmi důležitá pro praktické aplikace. Na tomto místě zatím jenom poznamenejme, že je-li funkce \(f\) spojitá v bodě \(a\), pak z rovnosti \(f(a) = b\) plyne, že \(f(x)\) je blízko \(b\) pokud \(x\) je blízko \(a\). Přesně to totiž korektně říká definice č. 5.32.
Jako první pozorování uveďme, že pokud \(a\notin D_f\), pak takováto funkce nemůže být z definice spojitá i kdyby \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\) existovala. V definici spojitosti se totiž předpokládá, že funkce je definována v bodě \(a\). V takovémto bodě bychom mohli danou funkci tzv. spojitě dodefinovat touto limitní hodnotou. Vytvořili bychom tedy novou funkci, která by v bodě \(a\) byla spojitá.
Protože \(a\in D_f\subset\mathbb{R}\) a \(f(a)\in\mathbb{R}\), dostáváme přeformulováním definice limity následující \(\varepsilon-\delta\) formulaci spojitosti:
Poznámka 5.33
Funkce \(f\) definovaná na okolí bodu \(a\) je spojitá v bodě \(a \in D_f\), právě když pro každé \(\varepsilon > 0\) existuje \(\delta > 0\) tak, že pro každé \(x\in\mathbb{R}\) splňující \(|x - a| < \delta\) platí \(|f(x) - f(a)| < \varepsilon\).
Následující tvrzení jsou bezprostředním důsledkem vlastností limity funkce:
Věta 5.34
Funkce \(f\) definovaná na okolí bodu \(a \in D_f\) je spojitá v bodě \(a\in D_f\), právě když je spojitá v bodě \(a\) zleva i zprava.
Věta 5.35
Součet a součin dvou funkcí \(f\) a \(g\) definovaných na okolí bodu \(a\) a spojitých v bodě \(a\) je funkce spojitá v bodě \(a\). Pokud navíc \(g(a) \neq 0\), pak podíl \(\frac{f}{g}\) je funkce spojitá v bodě \(a\).
Věta 5.36
Buďte \(g\) funkce definovaná na okolí bodu \(a\) a spojitá v bodě \(a\) a \(f\) funkce definovaná na okolí bodu \(g(a)\) a spojitá v bodě \(g(a)\). Potom složená funkce \(f\circ g\) je spojitá v bodě \(a\).
Jako první příklad spojité funkce zmiňme příklad libovolného polynomu.
Příklad 5.37
V předchozí podkapitole jsme ukázali, že pro libovolné reálná \(a\) a libovolný polynom \(P(x)\) platí \begin{equation*} \lim_{x\to a} P(x) = P(a).\end{equation*} Každý polynom je proto spojitou funkcí v každém bodě \(a\in\mathbb{R}\).
Všimněte si, že díky znalosti vlastností pojmu limity (konkrétně věty o limitě součtu a součinu) a pouze znalosti spojitosti funkce \(f(x) = x\) a konstantní funkce jsme odvodili spojitost libovolného polynomu. Vůbec jsme nepotřebovali explicitně použít definici spojitosti/limity.
Dále se podívejme na komplikovanější příklad, který pěkně ilustruje všechny možné druhy spojitosti (zleva/zprava).
Příklad 5.38
Zkoumejte spojitost funkce \(f(x) = x - \lfloor x \rfloor\). Přirozeným definičním oborem funkce \(f\) je \(D_f = \mathbb{R}\). Funkce \(f\) je spojitá v každém bodě \(a \in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Z}\). V bodech \(a \in \mathbb{Z}\) je spojitá zprava, ale ne zleva. \begin{equation*} \lim_{x\to a+} f(x) = f(a) \quad \text{a} \quad \lim_{x\to a-} f(x) = f(a) + 1.\end{equation*} Graf této funkce je uveden na obrázku 5.6.
Obrázek 5.6: Graf funkce \(f(x) = x - \lfloor x \rfloor\).
Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval.
Definice 5.39
Funkce \(f\) je spojitá na intervalu \(J\), právě když je spojitá v každém bodě intervalu \(J\).
Poznámka 5.40
Speciálně tedy platí
- spojitá na intervalu \((a,b)\), právě když \(f\) je spojitá v každém bodě \(x\in(a,b)\).
- spojitá na intervalu \(\langle a,b)\), právě když \(f\) je spojitá v každém bodě \(x\in(a,b)\) a v bodě \(a\) je spojitá zprava.
- spojitá na intervalu \((a,b\rangle\), právě když \(f\) je spojitá v každém bodě \(x\in(a,b)\) a v bodě \(b\) je spojitá zleva.
- spojitá na intervalu \(\langle a,b \rangle\), právě když \(f\) je spojitá v každém bodě \(x\in(a,b)\), v bodě \(a\) je spojitá zprava a v bodě \(b\) je spojitá zleva.
Spojitost funkce na uzavřeném intervalu má závažné důsledky pro řešení rovnic. Následující věta dává postačující podmínku pro existenci řešení rovnice \(f(x) = 0\) a dokonce i nabízí algoritmus jak toto řešení nalézt. Mimo to ji ještě dále s výhodou využijeme.
Povšimněte si, že není žádným omezením mít na pravé straně rovnice číslo \(0\). Pokud bychom měli řešit rovnici \(h(x) = g(x)\) pro neznámou \(x\), vždy můžeme tento problém přeformulovat do tvaru \(f(x) := g(x) - h(x) = 0\).
Věta 5.41 (Metoda půlení intervalu)
Nechť funkce \(f\) je spojitá na uzavřeném intervalu \(\langle a,b \rangle\) a nechť \(f(a) \cdot f(b) < 0\). Potom existuje bod \(c\in (a,b)\) takový, že \(f(c) = 0\).
Položme \(a_1 \ceq a\) a \(b_1 \ceq b\). Protože znaménka \(f(a_1)\) a \(f(b_1)\) jsou různá, nastane právě jedna ze tří možností
- \(f\left(\frac{a_1+b_1}{2}\right) = 0\),
- znaménka \(f(a_1)\) a \(f\left( \frac{a_1 + b_1}{2} \right)\) jsou různá,
- znaménka \(f\left( \frac{a_1+b_1}{2}\right)\) a \(f(b_1)\) jsou různá.
- Hledaným bodem \(c\) je \(\frac{a_1+b_1}{2}\) a věta je dokázána.
- Položme \(a_2 \ceq a_1\) a \(b_2 \ceq \frac{a_1 + b_1}{2}\).
- Položme \(a_2 \ceq \frac{a_1 + b_1}{2}\) a \(b_2 = b_1\).
Důkaz předcházející věty se nazývá konstruktivní. Tvrzení věty, existenci čísla \(c\), jsme dokázali jeho konstrukcí. Algoritmus použitý v důkazu se nazývá metoda půlení intervalu a lze ho prakticky použít k hledání řešení rovnice \(f(x) = 0\). Jeho výhodou je, že máme pod kontrolou chybu výpočtu, hledané řešení \(c\) vždy leží v intervalu \((a_n, b_n)\). Pokud délka tohoto intervalu je již kratší než požadovaná přesnost, můžeme algoritmus zastavit a třeba o průměru \(\frac{a_n+b_n}{2}\) prohlásit, že se jedná o hledané řešení (v dané přesnosti). Nevýhodou metody půlení intervalu je její ne příliš vysoká rychlost (typicky je potřeba udělat více iterací než se dostaneme k požadované přesnosti).
Obrázek 5.7: Demonstrace k metodě půlení intervalu, větě č. 5.41.
Poznámka 5.42
Předpoklad spojitosti v předešlé větě 5.41 je podstatný. Jako příklad uvažme funkci \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \left\langle 0, \frac{1}{2} \right\rangle, \\ -1, & x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right\rangle \end{cases}\end{equation*} na intervalu \(\langle a,b \rangle = \langle 0,1 \rangle\). Sice \(f(0)\cdot f(1) = -1 < 0\), ale neexistuje bod \(x\in(0,1)\) splňující \(f(x) = 0\).
Obrázek 5.8: Předpoklad spojitosti pro tvrzení věty 5.41 je podstatný.
Důsledkem předchozí věty 5.41 je následující tvrzení.
Důsledek 5.43
Buď \(f\) spojitá funkce na intervalu \(J\) a nechť platí \(f(x) \neq 0\) pro všechna \(x\in J\). Potom pro všechna \(x\in J\) platí buď \(f(x) > 0\) nebo \(f(x) < 0\).
Další vlastností spojitých funkcí je, že zobrazují intervaly na intervaly. To pro nespojité funkce nemusí být pravda (rozmyslete!).
Věta 5.44
Buď \(f\) funkce spojitá na intervalu \(J\). Potom obraz \(f(J)\) intervalu \(J\) je buď interval, nebo jednoprvková množina.
\(f(J)\) je jednoprvková množina právě tehdy, když funkce \(f\) je konstantní. Ve zbytku důkazu předpokládejme, že \(f\) není konstantní. Ukažme, že \(f(J)\) je interval. K tomu je třeba ukázat, že pro libovolné dva prvky \(\alpha,\beta \in f(J)\), \(\alpha \neq \beta\), leží všechna \(k\) mezi \(\alpha\) a \(\beta\) také v \(f(J)\). Jistě existují \(a,b\in J\), \(f(a) = \alpha\), \(f(b) = \beta\) a bez újmy na obecnosti \(a < b\). Položme \(g(x) \ceq f(x) - k\). Funkce \(g\) je spojitá na \(\langle a, b \rangle\), \(g(a) = \alpha - k\) a \(g(b) = \beta - k\) jsou nenulová s rozdílným znaménkem. Podle věty existuje \(c \in (a,b)\) takové, že \(g(c) = 0\), tj. \(f(c) = k\).
\(\square\)Spojitým obrazem intervalu je tedy interval. Zachovává spojitost i uzavřenost, resp. otevřenost, intervalu? Není těžké si rozmyslet, že obrazem otevřeného intervalu nemusí být opět otevřený interval30. Spojitým obrazem uzavřeného intervalu už ale vždy bude uzavřený interval. Platí totiž následující věta.
Věta 5.45
Buď \(f\) funkce spojitá na uzavřeném intervalu \(J\). Potom obraz \(f(J)\) intervalu \(J\) je buď jednoprvková množina, nebo uzavřený interval.
Podle věty 5.44 již víme, že \(f(J)\) je buď jednoprvková množina (pokud je funkce konstantní) a nebo interval (pokud je funkce nekonstantní). Ukažme nyní uzavřenost \(f(J)\) pro nekonstantní \(f\). Označme \(J = \langle a,b \rangle\). Postupujme sporem, bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme, že obraz je tvaru \((c,d\rangle\) kde \(c\in\mathbb{R}\) nebo \(c = -\infty\). Existuje posloupnost \((y_n)\) konvergující k \(c\) jejíž členy leží v \(f(J)\). Skutečně, v případě \(c\in\mathbb{R}\) můžeme volit \(y_n = c + \frac{1}{n}\) od dostatečně velkého \(n\) a v případě \(c=-\infty\) lze volit \(y_n = -n\) opět pro dostatečně velké \(n\). Protože \(y_n \in f(J)\), existují \(x_n \in J\) splňující \(y_n = f(x_n)\). Posloupnost \((x_n)\) patří do \(\langle a, b \rangle\) a je proto omezená. Podle Bolzano–Weierstrassovy věty 3.43 lze z této posloupnosti vybrat konvergentní podposloupnost \((x_{k_n})\). Existuje tedy \(x\in J = \langle a,b\rangle\) splňující \(\lim_n x_{k_n} = x\). Ze spojitosti dostáváme \(c = \lim_n f(x_{k_n}) = f\big( \lim_n x_{k_n} \big) = f(x)\). Proto \(c\in f(J)\), což je spor s naším předpokladem.
\(\square\)Věta 5.46 (O inverzní funkci)
Buď \(f\) ryze monotónní a spojitá funkce na intervalu \(I\). Potom její inverzní funkce \(f^{-1}\) je také ryze monotónní a spojitá na intervalu \(J := f(I)\).
\(f^{-1}\) existuje a je ryze monotónní. \(J\) je skutečně interval, jak tvrdí věta 5.44. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že funkce \(f\) je ostře rostoucí. Ukažme, že \(f^{-1}\) je spojitá zprava v každém bodě \(b\in J\), který není pravým koncovým bodem. Ozn. \(a := f^{-1}(b)\), tj. \(f(a) = b\). Buď \(\veps > 0\). Potom pro \(\delta := f(a+\veps) - b\) a \(y\in (b,b+\delta)\) platí \begin{equation*} \begin{aligned} b < &y < b+\delta = f(a+\veps) \\ a = f^{-1}(b) < &f^{-1}(y) < a + \veps. \end{aligned}\end{equation*} Pro lepší orientaci je dobré nakreslit si obrázek, viz obrázek 5.9. Tedy \(f^{-1}(y) \in H_a(\veps)\), \(a = f^{-1}(b)\). Podobně pro spojitost zleva.
\(\square\)
Obrázek 5.9: K důkazu věty o vlastnostech inverzní funkce.