9.4 Zobecněný Riemannův integrál
V této sekci nejprve zopakujeme geometrickou interpretaci určitého (Riemannova integrálu) a poté se budeme zabývat jeho různými jednoduchými zobecněními.
Poznámka 9.25
Určitý integrál interpretujeme jako obsah plochy mezi grafem funkce a osou \(x\). Ovšem tento obsah se počítá i se znaménkem: \begin{equation*} \int_0^\pi \sin(x) \mathrm{d} x = 2, \quad \int_0^{2\pi} \sin(x) \mathrm{d} x = 0, \quad \int_\pi^{2\pi} \sin(x) \mathrm{d} x = -2.\end{equation*} Viz obrázek 9.9.
Obrázek 9.9: Určitý integrál funkce \(\sin\) na intervalu \(\langle 0,2\pi \rangle\) je roven nule!
Poznámka 9.26
Pokud je funkce \(f\) definována na intervalu \(\langle a,b \rangle\), avšak není na něm spojitá, stále může mít Riemannův integrál. Nejjednodušším případem je situace s jedním bodem skokové nespojitosti:
- existuje \(c\in (a,b)\) tak, že \(f\) je spojitá na \(\langle a,c )\) a \((c,b\rangle\),
- existují konečné jednostranné limity v bodě \(c\).
Příklad 9.27
Vypočtěte integrál \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \,\mathrm{d} x\), kde \(f(x) = |x| - x + \sgn(x)\). Funkce \(f\) není spojitá v bodě \(0\): \begin{equation*} \lim_{x\to 0_+} f(x) = 1, \quad \lim_{x\to 0_-} f(x) = -1.\end{equation*} Pro podrobnější představu vizte obrázek č. 9.10. Takže \begin{equation*} \int_{-1}^1 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-1}^0 (-2x-1)\,\mathrm{d}x + \int_0^1 1 \,\mathrm{d}x = -\Big[ x^2 + x \Big]_{-1}^0 + 1 = 1.\end{equation*}
Obrázek 9.10: Graf funkce \(f(x) = |x| - x + \sgn(x)\).
Riemannův integrál jsme konstruovali pro funkce omezené na omezených uzavřených intervalech. Často je však potřeba integrovat funkce na neomezených množinách případně integrovat neomezené funkce (například \(e^{-x^2}\) na \(\mathbb{R}\) v BI-PST). Zavádíme proto pojem zobecněného Riemannova integrálu. V následujícím textu nastíníme způsob jeho konstrukce.
Definice 9.28
Nechť \(f\) je funkce definovaná na intervalu \(\langle a, b)\) pro nějaké \(a \in \mathbb R\) a \(b \in (a, +\infty\rangle\), která je Riemanovsky integrabilní na intervalu \(\langle a, c \rangle\) pro každé \(c \in (a,b)\). Pokud existuje konečná limita \begin{equation*} \lim_{c \to b_-} \int_a^c f(x)\, \dx,\end{equation*} pak její hodnotu značíme \begin{equation*} \int_a^b f(x)\, \dx,\end{equation*} nazýváme zobecněným Riemannovým integrálem funkce \(f\) na intervalu \(\langle a, b)\) a říkáme, že integrál \(\int_a^b f(x)\, \dx\) konverguje.
Poznámka 9.29
Pokud \(\int_a^b |f(x)|\, \dx\) konverguje, tak lze ukázat, že i \(\int_a^b f(x)\, \dx\) konverguje. V takovém případě říkáme, že \(f\) má absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na \(\langle a, b)\).
Poznámka 9.30
Analogicky definujeme předchozí pojmy pro interval \((a, b\rangle\) a pro \((a,b)\).
Definice zobecněného Riemannova integrálu je zajímavá, především, když \(b = +\infty\), anebo když funkci v bodě \(b\) nejde spojitě dodefinovat.
Příklad 9.31
Například \begin{equation*} \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \dx = \lim_{c\to +\infty} \int_1^{c} \frac{1}{x^2} \dx = \lim_{c\to +\infty} \left(-\frac{1}{c} + \frac{1}{1} \right) = 1\end{equation*}
Příklad 9.32
Například \begin{equation*} \int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \dx = \lim_{c \to 0_+} \int_c^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \dx = \lim_{c \to 0_+} \left(2 - 2\sqrt{c} \right) = 2.\end{equation*}
Dále se můžeme zabývat situací, kdy chceme dát smysl integrálu \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dx\). Zde se omezíme pouze na absolutně konvergentní případy pro spojité funkce.
Příklad 9.33
Buď \(f\) spojitá funkce definovaná na \(\mathbb{R}\). Pokud existuje konečná limita \begin{equation*} \lim_{c\to+\infty} \int_{-c}^{c} |f(x)| \,\dx,\end{equation*} pak tuto její hodnotu značíme \begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)| \,\dx\end{equation*} a o \(f\) říkáme, že má absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na \(\mathbb{R}\).
Pokud má funkce absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na \(\mathbb{R}\), pak i limita \begin{equation*} \lim_{c\to+\infty} \int_{-c}^{c} f(x) \,\mathrm{d}x\end{equation*} existuje a značíme ji \begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x.\end{equation*} Tuto hodnotu pak nazýváme zobecněným Riemannovým interálem \(f\) na \(\mathbb{R}\).
Absolutní konvergence zajišťuje, že hodnota zobecněného Riemannova integrálu nezávisí na způsobu jakým meze „posíláme“ do nekonečna.
Příklad 9.34
Vypočtěte \begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \,\mathrm{d}x.\end{equation*} Integrand je zjevně kladnou spojitou funkcí. Dále platí \begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{c \to +\infty} \int_{-c}^c\frac{1}{1+x^2} \dx & = \lim_{c \to +\infty} [\arctg x]_{-c}^c = \lim_{c \to +\infty} \arctg(c) - \arctg(-c) \\ &= \lim_{c \to +\infty} 2\arctg(c) = \pi. \end{aligned}\end{equation*} Funkce \(\frac{1}{1+x^2}\) má tedy absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na \(\mathbb R\) a \begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \dx = \pi.\end{equation*}