2.1 Množina reálných čísel

Nejprve se budeme zabývat množinou reálných čísel, která v našem výkladu matematické analýzy představuje ústřední pojem. V průběhu semestru budeme totiž studovat

• reálné číselné posloupnosti,
• reálné číselné řady,
• reálné funkce jedné reálné proměnné.

2.1.1 Přirozená, celá a racionální čísla

Označme \(\mathbb N = \{1,2,3,\dotsc\}\) množinu přirozených čísel, \(\mathbb Z = \{\dotsc,-2, -1, 0, 1, 2,\dotsc\}\) množinu celých čísel a \(\mathbb Q = \big\{\frac{p}{q} \mid p \in \mathbb Z, q \in \mathbb N\text{ a } p,q \text{ jsou nesoudělná}\big\}\) množinu racionálních čísel. Na těchto množinách, které jsou v množinovém vztahu \(\mathbb N \subset \mathbb Z \subset\mathbb Q\), umíme přirozeně sčítat a násobit, přičemž všechny tři množiny jsou vůči těmto operacím uzavřené¹. Tyto operace dále pro každé \(a,b,c \in \mathbb Q\) (nebo \(\mathbb Z\), \(\mathbb N\)) splňují: \begin{align*} a + b &= b + a, &\quad a \cdot b &= b \cdot a, &\qquad \text{(komutativita)}, \\ a + (b + c) &= (a + b) + c,&\quad a\cdot (b \cdot c) &= (a\cdot b) \cdot c,& \qquad \text{(asociativita)}, \\ a \cdot (b + c) &= (a\cdot b) + (a\cdot c), &&& \qquad \text{(distributivita)}.\end{align*}

V souladu se zažitou konvencí zavádíme přednost násobení před sčítáním a distributivitu proto bez nebezpečí nedorozumnění můžeme zkráceně zapsat také bez uzávorkovaní na pravé straně, tedy \begin{equation*} a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c.\end{equation*}

Inverzními (opačnými) operacemi ke sčítání a násobení jsou odčítání a dělení nenulovým číslem. Vůči nim však nejsou všechny výše uvedené množiny uzavřené. Jak už víme, přirozená čísla můžeme bez omezení pouze sčítat a násobit aniž bychom množinu přirozených čísel opustili. Celá čísla můžeme bez omezení navíc odčítat a racionální čísla odčítat a dělit jakýmkoli nenulovým racionálním číslem. Znamená to tedy, že v  \(\mathbb Z\) můžeme (jednoznačně) řešit rovnice typu \begin{equation*} a + x = b, \quad a,b \in \mathbb Z,\end{equation*} pro neznámou \(x\in\mathbb{Z}\). Toto nelze říct o množině přirozených čísel (rovnice \(x + 5 = 3\) pro neznámou \(x\) nemá mezi přirozenými čísly řešení). Podobně v \(\mathbb Q\) můžeme řešit rovnice typu \begin{equation*} q \cdot x = p, \quad p, q \in \mathbb Q,\ q \neq 0,\end{equation*} pro neznámou \(x\in\mathbb{Q}\). Toto tvrzení ale neplatí o celých číslech (rovnice \(4x=5\) nemá celočíselné řešení \(x\)).

Podívejme se nyní podrobněji na algebraickou² strukturu racionálních čísel. Mezi racionálními čísly existují čísla \(0\) (nula) a \(1\) (jedna) splňující \begin{equation*} a + 0 = a \quad \text{a} \quad a \cdot 1 = a,\end{equation*} pro každé \(a\in\mathbb{Q}\). Dále ke každému \(a \in \mathbb Q\) existuje číslo \(-a \in \mathbb Q\) splňující \(a + (-a) = (-a) + a = 0\). Podobně, ke každému nenulovému číslu \(a \in \mathbb Q\) existuje číslo \(a^{-1} \in \mathbb Q\) splňující \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1\).

V předchozích odstavcích jsme si ukázali, že množina racionálních čísel spolu s operacemi sčítání a násobení splňuje asociativní, distributivní a komutativní zákony, existují v ní prvky \(0\) a \(1\) a opačné, resp. inverzní, prvky popsané výše. To znamená, že racionální čísla spolu s operacemi sčítání a násobení tvoří tzv. číselné těleso³.

2.1.2 Uspořádání racionálních čísel

Vraťme se zpět k racionálním číslům. Vedle výše zmíněných algebraických vlastností mají racionální čísla další zajímavé vlastnosti. Racionální čísla lze porovnávat podle velikosti. Jsou-li \(a,b\) racionální čísla, pak zápisem \(a < b\) vyjadřujeme, že číslo \(a\) je (ostře) menší než číslo \(b\), a tuto vlastnost definujeme jako

Relace uspořádání \(<\) je svázána s operací sčítání a násobení známými středoškolskými pravidly pro počítání s nerovnicemi. Připomeňme, že pro každé \(a,b,c \in \mathbb Q\) platí tvrzení \begin{equation*} a < b\quad \Rightarrow \quad a + c < b + c,\end{equation*} a

Díky konceptu úplného uspořádání si můžeme racionální čísla geometricky představovat jako body na číselné ose, viz obrázek č. 2.1. Skutečně, protože umíme každé racionální číslo porovnat s každým jiným racionálním číslem, můžeme je tímto způsobem na přímce uspořádat. Bez tohoto úplného uspořádání bychom k takovémuto lineárnímu znázornění racionálních čísel neměli žádný důvod.

2.1.3 Vzdálenost racionálních čísel

Uspořádání racionálních čísel nám dále umožňuje definovat veledůležitý pojem vzdálenosti mezi racionálními čísly. Vzdálenost dvou racionálních čísel \(a\) a  \(b\) definujeme pomocí absolutní hodnoty výrazem \(|a-b|\), kde \(|\cdot|\) je absolutní hodnota definovaná vztahem

def abs(x):
  if x >= 0:
    return x
  elif x < 0:
    return -x

2.1.4 Neúplnost racionálních čísel

Jak již bylo zmíněno, racionální čísla obvykle graficky znázorňujeme jako body na tzv. číselné ose, tj. na přímce s vyznačeným počátkem odpovídajícím číslu \(0\). Na obrázku č. 2.1 je tímto způsobem znázorněno uspořádání dvou racionálních čísel a jejich vzdálenost.

Obrázek 2.1: Číselná osa s body \(a,b \in \mathbb Q\). Zde \(a < b\) a tudíž \(| a - b| = b - a\).

V tomto geometrickém znázornění racionálních čísel je každému racionálnímu číslu přiřazen jeden bod na číselné ose. Opak však neplatí. Existují body na této idealizované přímce⁶, které neodpovídají žádnému racionálnímu číslu. Pokud by číselná osa byla tvořena pouze racionálními čísly, byla by „děravá“. Ilustrujme toto tvrzení na následujícím příkladu.

Obrázek 2.2: Bod na číselné ose odpovídající \(\sqrt{2}\) lze zjevně zkonstruovat pomocí úhlopříčky čtverce o straně délky \(1\). Lze ho ale popsat pomocí racionálního čísla?

2.1.5 Axiom úplnosti

Nyní ukážeme jak obecně zformulovat požadavek „bezděrovosti“ číselné osy. Předpokládejme, že máme množinu \(\mathbb R\), která obsahuje racionální čísla, \(\mathbb Q \subset \mathbb R\), a máme na ní definované operace násobení, sčítání, jejich inverze (odčítání a dělení) a také uspořádání \(<\) a všechny tyto operace mají stejné vlastnosti, jako u racionálních čísel (tj. jedná se o úplně uspořádané číselné těleso, viz výše).

Pro \(a, b \in \mathbb R\), \(a < b\), označme \(\langle a, b \rangle \ceq \{x \in \mathbb R \mid a \leq x \leq b\}\) a nazvěme tuto množinu uzavřeným intervalem a body \(a,b\) koncovými body tohoto intervalu. Délkou intervalu \(\langle a, b \rangle\) nazýváme číslo \(|b - a|\), tj. vzdálenost jeho koncových bodů. Z vlastností absolutní hodnoty, které jsou stejné jako pro racionální čísla, plyne nerovnost \(|x - y| \leq |b - a|\) platná pro každé \(x,y \in \langle a, b \rangle\).

Předpokládejme nyní, že \(\mathbb R\) již obsahuje kladné řešení rovnice \(x^2 = 2\), které označíme \(\sqrt{2}\). Pro \(\sqrt{2}\) musí platit \(\sqrt{2}\in \langle 1,2 \rangle = I_1\) (protože \(a < 1\) implikuje \(a^2 < a \cdot 1 < 1\) a \(a > 2\) implikuje \(a^2 > a\cdot 2 > 2\)), tudíž pro \(\sqrt{2}\) nemůže platit ani \(\sqrt{2}< 1\) ani \(\sqrt{2} > 2\)). Rozpůlením \(I_1\) podobným způsobem zjistíme, že \(\sqrt{2} \in \langle 1,\frac{3}{2} \rangle = I_2\) (protože \(a > 3/2\) implikuje \(a^2 > 9/4 > 2\)). Pokračujeme nadále půlením těchto uzavřených intervalů. Protože takto konstruované koncové body jsou vždy racionální čísla a \(\sqrt{2}\) racionální není, nikdy se nestane, že by po nějakém dělení byl bod \(\sqrt{2}\) koncovým bodem intervalu, a postup tak lze libovolně opakovat. Dostáváme tudíž intervaly \(I_n\), \(n\in\mathbb{N}\), uvnitř kterých musí ležet \(\sqrt{2}\). Pro tyto intervaly platí inkluze \(I_{n+1} \subset I_n\) a délka intervalu \(I_n\) je \(\frac{1}{2^{n-1}}\). Tudíž \(\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n\) je nejvýše jednoprvková množina. Opravdu, pro každé \(2\) různé body, mezi nimiž je nutně vzdálenost \(d > 0\), existuje \(m \in \mathbb N\) takové, že délka intervalu \(I_{m}\) je menší než \(d\), a nemohou tedy oba současně patřit do \(I_{m}\) a tedy ani do průniku. Náš požadavek \(\sqrt{2} \in \mathbb R\) v tomto případě znamená, že \begin{equation*} \href{Množina všech čísel patřících do intervalu \(I_n\) pro každé přirozené \(n\).}{\class{mathpopup}{\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n}} = \left\{ \sqrt{2} \right\}.\end{equation*} Grafickou ilustraci konstrukce těchto intervalů lze nalézt na obrázku č. 2.3.

Obrázek 2.3: Ilustrace ke konstrukci intervalů \(I_1\), \(I_2\) a \(I_3\) obsahujících \(\sqrt{2}\) s racionálními koncovými body.

Obecný požadavek aby množina \(\mathbb R\) „neměla díry“ můžeme nyní přesně formulovat jako tzv. axiom úplnosti: Každý systém uzavřených a do sebe se vnořujících intervalů, jejichž délky jsou libovolně malé, má neprázdný průnik. Podrobněji, pokud jsou \(I_n\), \(n=\mathbb{N}\), uzavřené intervaly splňující

1. \(I_n \supset I_{n+1}\) pro libovolné \(n = \mathbb{N}\),
2. pro každé \(\varepsilon > 0\) existuje přirozené \(n\) tak, že délka \(I_n\) je menší než \(\varepsilon\),

Jak již bylo zmíněno v odstavci výše, v průniku v rovnici (2.5) může ležet nejvýše jeden bod.

Lze ukázat, že taková množina \(\mathbb R\), která je úplným uspořádaným tělesem splňujícím axiom úplnosti, existuje a nazýváme ji množinou reálných čísel. Samotná konstrukce množiny reálných čísel jde daleko nad rámec tohoto kurzu a nebudeme se jí zde zabývat.

Je důležité si uvědomit, že axiom úplnosti je to jediné, co odlišuje reálná čísla od racionálních. Jak bylo ukázáno výše, racionální čísla tento axiom nesplňují. Algebraicky (vzhledem k \(+\) a \(\cdot\)) mají jinak tyto množiny shodné vlastnosti. Pro úplnost dodejme, že reálná čísla také znázorňujeme jako body na číselné ose, přičemž nyní již každému bodu na této ose odpovídá právě jedno reálné číslo. Z tohoto důvodu někdy číselnou osu nazýváme reálnou osou.

2.1.6 Reálná čísla: shrnutí vlastností

Pro úplnost shrňme a zdůrazněme vlastnosti množiny \(\mathbb{R}\) a operací sčítání \(+\), násobení \(\cdot\) a uspořádání \(<\):

• asociativní zákony,
• komutativní zákony,
• distributivní zákony,
• existence nuly a jedničky,
• opačné prvky,
• inverzní prvky,
• úplné uspořádání,
• axiom úplnosti.

2.1.7 Okolí bodu a rozšířená reálná osa

Výše v textu jsme definovali pojem uzavřeného intervalu. Tuto definici nyní zopakujme a rozšiřme i o další typy intervalů.

Nechť pro \(a, b \in \mathbb R\) platí \(a < b\). Potom definujeme, \begin{align*} &\text{otevřený interval:} & (a,b) &\ceq \big\{x \in \mathbb{R} \, \big| \,a < x < b \big\}, \\ &\text{uzavřený interval:} & \langle a,b \rangle &\ceq \big\{ x \in \mathbb{R} \, \big| \, a \leq x \leq b \big\}, \\ &\text{polootevřený (polouzavřený) interval:} & \langle a,b) &\ceq \big\{ x \in \mathbb{R} \, \big| \,a \leq x < b \big\}, \\ &\text{polootevřený (polouzavřený) interval:} & (a,b\rangle &\ceq \big\{ x\in\mathbb{R} \, \big| \, a < x \leq b \big\}.\end{align*} Dále definujeme neomezené intervaly \begin{equation*} \begin{aligned} (a,+\infty) &\ceq \big\{ x\in\mathbb{R} \,\big|\, a < x\big\}, \\ \langle a ,+\infty) &\ceq \big\{ x\in\mathbb{R} \,\big|\, a\leq x\big\}, \\ (-\infty,b) &\ceq \big\{ x\in\mathbb{R} \,\big| \,x< b \big\},\\ (-\infty,b \rangle &\ceq \big\{ x\in\mathbb{R} \,\big| \,x\leq b \big\}. \end{aligned}\end{equation*} Ve všech těchto intervalech je \(a\) tzv. počáteční bod a \(b\) tzv. koncový bod intervalu. O bodech \(a\) a \(b\) souhrnně mluvíme jako o krajních bodech daných intervalů.

Pro neomezené intervaly s krajním bodem \(0\) navíc občas používáme speciální značení: \begin{equation*} \mathbb R^+ = (0, +\infty), \quad \mathbb R^- = (-\infty, 0),\quad \mathbb R^+_0 = \langle 0, +\infty), \quad \mathbb R^-_0 = (-\infty, 0\rangle,\end{equation*} tedy pořadě kladná, záporná, nezáporná a nekladná reálná čísla.

Dalším důležitým pojmem je okolí bodu, které budeme později intenzivně využívat.

Je-li \(a\in\mathbb{R}\) a \(\veps > 0\), pak \(x \in H_a(\veps)\) platí právě, když \(|x-a| < \veps\). Bod \(x\) tedy patří do okolí \(H_a(\veps)\) bodu \(a\in\mathbb{R}\) právě tehdy, když jeho vzdálenost od \(a\) je menší než \(\veps\). O parametru \(\veps\) se z očividných důvodů často mluví jako o poloměru a o bodu \(a\) jako o středu okolí  \(H_a(\veps)\).

Výše zavedená okolí \(H_a(\veps)\) též často nazýváme oboustranná, tyto množiny se totiž „rozprostírají“ na obě strany od bodu \(a\), tedy okolo bodu \(a\) (odtud by měla být patrná motivace pro volbu názvu „okolí“). Dále zavádíme tzv. jednostranná okolí bodu \(a\in\mathbb{R}\).

Dále je často výhodné pracovat se symboly \(+\infty\) a \(-\infty\) podobným způsobem jako s reálnými čísly. V následující definici proto o tyto prvky množinu reálných čísel rozšíříme.

Prvky množiny \(\mathbb{R}\) umíme porovnávavat pomocí nerovnosti \(<\). Toto uspořádání můžeme rozšířit i na množinu \(\overline{\mathbb R}\) přirozeným způsobem pomocí vztahů \begin{equation*} -\infty < x < + \infty\end{equation*} pro každé \(x \in \mathbb R\). Definice operací sčítání a násobení na \(\overline{\mathbb R}\) necháme na později (viz sekci 3.5).

Pro další výklad (zejména o limitách posloupností a funkcí) je vhodné definovat i okolí těchto nových bodů \(+\infty\) a \(-\infty\).

Okolí bodu \(a\) máme tedy definované pro libovolné \(a\in\overline{\mathbb{R}}\). Všimněte si, že toto okolí je vždy podmnožinou \(\mathbb{R}\). Není-li u okolí bodu \(a\) třeba specifikovat jeho velikost, tj. zadávat konkrétní hodnotu \(\veps\) případně \(c\), píšeme zkráceně \(H_a\).