K výpočtu limit funkcí vedoucích k neurčitým výrazům se často hodí l'Hospitalovo pravidlo.
Nechť pro funkce \(f\) a \(g\) a bod \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) platí
Důkaz vynecháváme.
\(\square\)Vypočtěte limitu \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin(x)}{\sin(x)}.\end{equation*} Pomocí l'Hospitalova pravidla \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin(x)}{\sin(x)} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\cos(x)} = 1.\end{equation*} Použití l'Hospitalovala pravidla je korektní. Jednalo se o limitu typu \(\frac{0}{0}\), limita podílů derivací existuje, oba podíly jsou definovány na okolí bodu \(0\) vyjma bod \(0\) samotný (podíl derivací dokonce definovaný i v \(0\)).
Vypočtěte limitu \(\displaystyle\lim_{x\to 0_+} x\ln(x)\). Nejprve musíme výraz upravit do tvaru kdy lze aplikovat l'Hospitalovo pravidlo. \begin{equation*} \lim_{x\to 0_+} x\ln(x) = \lim_{x\to 0_+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to 0_+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0_+} (-x) = 0.\end{equation*} Opět poznamenejme, že l'Hospitalovo pravidlo je použito korektně. Po vhodné úpravě se jedná o limitu typu \(\frac{\infty}{\infty}\), limita podílu derivací existuje a oba podíly jsou definovány na pravém okolí bodu \(0\) vyjma bod \(0\) samotný (např. \((0,1)\)). K tomuto příkladu ještě poznamenejme, že pokud bychom výraz upravili takto, \begin{equation*} x\ln x = \frac{x}{\frac{1}{\ln x}},\end{equation*} tak bychom sice získali limitu typu \(\frac{0}{0}\), ale limitu podílu derivací bychom vypočítat nedokázali. Dostali bychom se tedy do slepé uličky.
Vypočtěte limitu \begin{equation*} \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2}.\end{equation*} Nyní je třeba l'Hospitalovo pravidlo použít dvakrát, \begin{equation*} \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2x} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2} = +\infty.\end{equation*} L'Hospitalovo pravidlo je použito korektně. Jedná se vždy o limitu typu \(\frac{\infty}{\infty}\), podíly jsou definovány na okolí bodu \(+\infty\) a poslední z limit existuje, tudíž existují i všechny předchozí.
Upozorněme na častý omyl vyskytující se u příkladů podobných předchozímu. Často se objevuje argument „limita je rovna \(+\infty\) protože exponenciála roste rychleji než polynom“. To je sice dobrá intuice, ale není dostatečně přesná. Jak rychleji musí růst čitatel vůči jmenovateli, aby limita byla \(+\infty\)? Na to intuice vůbec nestačí. Například v limitě \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \frac{2x+\sqrt{x}}{x+1}\end{equation*} také čitatel roste rychleji než jmenovatel, ale hodnota této limity je \(2\) a ne nekonečno. Na předchozí příklad je nutné se dívat právě naopak. Pomocí l'Hospitalova pravidla jsme vypočetli limitu \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty.\end{equation*} Protože tato limita vyšla \(+\infty\), můžeme tvrdit, že exponenciála \(e^x\) roste rychleji než \(x^2\). Všimněte si, že původní intuitivní úvaha jde přesně opačným směrem.
Při použití l'Hospitalova pravidla je nutné zkontrolovat předpoklady. Slepým použitím formule můžeme dostat špatný výsledek: \begin{equation*} \lim_{x\to\infty} \frac{2x+\sin(x)}{x+\sin(x)} \overset{\text{1}}{=} \lim_{x\to\infty} \frac{2+\cos(x)}{1+\cos(x)} \overset{\text{2}}{=} \lim_{x\to\infty} \frac{-\sin(x)}{-\sin(x)} = 1.\end{equation*} Chyba v tomto výpočtu je dvojnásobná:
V následujícím případě sice všechny předpoklady platí, ale ani opakované použití l'Hospitalova pravidla nevede k cíli \begin{equation*} \lim_{x\to\infty} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to\infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to\infty} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}.\end{equation*} Po druhém použití dostaneme stejný výraz s kterým jsme začínali. Tuto limitu můžeme snadno spočítat bez použití l'Hospitalova pravidla, \begin{equation*} \lim_{x\to\infty} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 + e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} = 1.\end{equation*}