Již jsme spočetli, že pro každé reálné \(x\) a přirozené \(n\) platí \begin{equation*} e^x = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + R_n(x).\end{equation*} Dále v tomto případě známe tvar zbytku \(R_n\), lze ho vyjádřit jako \begin{equation*} R_n(x) = \frac{e^{\xi_{n,x}}}{(n+1)!} x^{n+1},\end{equation*} kde \(\xi_{n,x}\) leží mezi \(0\) a \(x\), tudíž \(\xi_{n,x} < |x|\). Z monotonie \(e^x\) pak plyne odhad \begin{equation*} 0 < e^{\xi_{n,x}} < e^{|x|}.\end{equation*} Horní odhad čísla \(e^{\xi_{n,x}}\) tedy nezávisí na \(n\) (v tomto případě)!
Pro dané pevné \(x\in\mathbb{R}\) proto platí \begin{equation*} 0 \leq |R_n(x)| < \frac{e^x}{(n+1)!} |x^n| \xrightarrow{n\to\infty} 0.\end{equation*} Věta o limitě sevřené posloupnosti 3.54 potom pro každé reálné \(x\) zaručuje \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0.\end{equation*} Pro libovolné reálné \(x\) tedy platí \begin{equation*} e^x = \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + R_n(x) \right) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}.\end{equation*} Tento fakt pro nás samozřejmě není překvapením, protože exponenciálu jsme takto definovali! Jak za chvíli uvidíme, tuto vlastnost – vyjádřitelnost pomocí součtu číselné řady s parametrem \(x\)– mají i další elementární funkce.
Nechť je dána posloupnost \((a_k)_{k=0}^\infty\) a číslo \(c\in\mathbb{R}\). Číselnou řadu
Nechť reálná funkce reálné proměnné \(f\) má v bodě \(c \in \mathbb{R}\) konečné derivace všech řádů. Mocninnou řadu \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k\end{equation*} potom nazýváme Taylorovou řadou funkce \(f\) v bodě \(c\).
Uvažme pro jednoduchost \(c=0\) a řadu v rovnici (7.1).
Pokud existuje limita \begin{equation*} L := \lim_{k\to\infty} \bigg|\frac{a_{k+1}}{a_k}\bigg|,\end{equation*} potom klademe \begin{equation*} R := \begin{cases} \frac{1}{L}, & L \in\mathbb{R}, \\ +\infty, & L = 0, \\ 0, & L = +\infty \end{cases}\end{equation*} a tvrdíme, že mocninná řada \begin{equation*} \sum_{k = 0}^\infty a_k (x-c)^k\end{equation*} konverguje absolutně pro \(x\in(c-R,c+R)\) a diverguje pro \(|c-x| > R\).
Pro libovolné \(x\in\mathbb{R}\) různé od \(c\) dostáváme \begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \bigg| \frac{a_{k+1} (x-c)^{k+1}}{a_k (x-c)^k} \bigg| = \lim_{k\to\infty} |x - c| \cdot \bigg| \frac{a_{k+1}}{a_k} \bigg| = |x - c| \cdot L.\end{equation*} Shrnujeme, že pokud
Uveďme dále několik základních vlastností týkajících se mocninné řady
Ke každé mocninné řadě tvaru (7.2) existuje \(R\in\langle 0,+\infty\rangle\) takové, že řada absolutně konverguje pro \(|x| < R\) a diverguje pro \(|x| > R\).
Vynecháváme.
\(\square\)Poloměr konvergence ale vždy nemusí jít spočítat pomocí limity podílů uvedených ve větě 7.18. Tato limita nemusí existovat.
Uvažte mocninnou řadu \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty \sin(k)\, x^k.\end{equation*} Limita \begin{equation*} \lim_{k\to+\infty} \left| \frac{\sin(k+1)}{\sin(k)} \right|\end{equation*} neexistuje, ale podle srovnávacího kritéria mocninná řada jistě konverguje pro \(x\in(-1,1)\). Skutečně, \begin{equation*} \big| \sin(k) \, x^k \big| \leq |x|^k\end{equation*} a \(\sum_{k=0}^\infty |x|^k\) konverguje pro \(|x| < 1\).
Rozeberme všechny tyto poznatky na příkladu funkce \(f(x) = \frac{1}{1-x}\) a její Taylorovy řady v bodě \(0\), \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty x^k.\end{equation*} Platí \(f^{(k)}(x) = \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}\), \(x\neq 0\), \(k\in\mathbb{N}\). Proto \(f^{(k)}(0) = k!\). Zadání je tedy v pořádku, tato řada je skutečně Taylorovou řadou příslušné funkce v bodě \(0\). Pro poloměr konvergence máme \begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \bigg| \frac{1}{1} \bigg| = 1 = \frac{1}{R}.\end{equation*} Dále pro \(x=\pm 1\) jsou řady \(\sum_{k=0}^\infty (\pm 1)^k\) divergentní. Řada konverguje absolutně pro \(x\in(-1,1)\) a diverguje pro všechna ostatní \(x\). Rovnost \begin{equation*} \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k\end{equation*} platí pro \(x\in(-1,1)\). Řadu v tomto případě umíme přímo sečíst, není potřeba vyšetřovat zbytek v Taylorově vzorci.
Na závěr této podkapitoly uvádíme v tabulce 7.1 Taylorovy řady dalších elementárních funkcí.
| funkce | Taylorova řada v \(0\) | konvergence pro |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^{k}\) | \(x\in(-1,1\rangle\) |
| \(\arctg x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1}\) | \(x\in\langle -1,1 \rangle\) |
Tabulka 7.1: Některé elementární funkce, jejich Taylorovy řady a \(x\) pro která tyto řady konvergují.